Press "Enter" to skip to content

Matritsalar: Gauss usuli. Matritsani Gauss usuli bilan hisoblash: misollar

P.s. Haqiqatdanam zo’r ilova. Agar buni oldin eshitmagan bo’lsangiz, hoziroq sinab ko’ring va bilmaydigan do’stlaringizga ulashing ��

Boshlangʻich sinf o’quvchilariga murakkab masalalar yechishni o`rgatish usullari

Boshlanğich sinflarda matematikadan masalalar yechish o`quvchilarning mantiqiy fikrlash qobiliyatlarini shakllantirish va rivojlantirishga, o`z fikrlarini mustaqil bayon qila olishga, egallagan bilimlarini ijtimoiy faoliyatlarda qo`llashga xizmat qiladi.

Har bir masala berilgan (ma’lum) va izlanayotgan (noma’lum) sonlarni o`z ichiga oladi. Masaladagi sonlar, to`plamlar sonini yoki miqdorlarning qiymatini xarakterlaydi, munosabatlarni ifodalaydi yoki topilishi kerak bo`lgan noaniq sonlar bo`ladi.

Masala shartida berilgan sonlar orasidagi va berilgan sonlar bilan izlanayotgan sonlar orasidagi boğlanish ko`rsatiladi; bu boğlanishlar tegishli arifmetik amallarni tanlashni belgilab beradi. Savol esa qaysi son izlanayotgan son ekanini bildiradi.

Yechilishi uchun bir nechta o`zaro boğliq amallarni bajarish talab qilinadigan masalalar murakkab masalalar deyiladi.

Sodda masalalar kabi murakkab masalalar ham bilimlarni o`zlashtirishga, olingan bilimlarni mustahkamlash va mukammallashtirishga xizmat qiladi.

Masala yechish ketma-ketligida quyidagilarni amalga oshirish lozim.

1.Masalani tinglashni o`rganish va uni mustaqil o`qiy olish.

2.Masalani, dastlabki tahlil qilish, ma’lumni noma’lumdan, muhimli nomuhimdan ajratish, berilgan bilan izlanayotganlar orasida boğlanish o`rnatish.

3.Masalani qisqa yozish malakasi.

4.Murakkab masala tahlilini amalga oshirish, so`ngra yechish rejasini tuzish.

5. Yechimni bajarish, uni o`qituvchi talabiga mos qilib daftarga yoki doskaga yozib masala savoliga javob berish.

6. Masala yechimini tekshira olish.

«Yuzlik» mavzusida masalalar yechish.

«Yuzlik» mavzusi ikkinchi sinfdan boshlab o`qitiladi. Shundan boshlab sodda masalalardan sekin murakkab masalalar yechishga o`tish jarayoni boshlanadi.

Bunda ham eng avvalo masala shartini tahlil qilishdan boshlamoq kerak. Masalan: 1-qutida 6 ta, 2- qutida undan 2 ta kam qalam bor, ikkala qo`tida qancha qalam bor.

Masalaning shartini ko`rgazmali tahlildan boshlash kerak. 1-qutida 6 ta qalamni ko`rsatadi, 2- qutida undan 2 ta kam qalam bor, deb yoriq holda ko`rsatiladi. Ikkala qutini bir-biriga yaqinlashtirib jami qancha qalam borligini topishni aytadi. Uning chizmalarini doskada tasvirlaydi.

Savol. a) Ikkinchi qutida qancha qalam bor 6-2=4 ta

v) Ikkala qutida qancha qalam bor? 6+4=10

Undan keyin masalalarning umumiy yechimini ifodalalovchi ifoda tuzamiz 6+(6-2)=10

Qo`shish va ayirishga doir murakkab masalalardan tashqari yana quyidagi mazmunlarda ham masalalarni yechish tavsiya qilingan.

1.Ko`paytirish va bo`lishga doir;

2.Sonni bir necha marta orttirish va kamaytirishga doir;

3.Sonlarni karrali taqqoslashga doir M: katakli taxtachaga 3 ta kvadrat qo`yiladi va undan 2 marta ko`p uchburchak olishni taklif qiladi.

Murakkab masalalarning deyarli hammasi uchun qisqacha yozuv zarur bo`ladi.

Bu yozuvdan masalani takrorlashda, qayta-qayta eslashda foydalaniladi. Yozuvda asosan masala sharti va savol qismi orasidagi boğlanish ko`rsatilish kerak.

Masalaga doir qisqacha yozuvda quyidagi qoidalarga amal qilish kerak.

1) qisqacha yozuv masala mazmuni bilan tanishtirilgandan keyin tuziladi va yechish yo`llarini izlashning muhim vositasi bo`lib xizmat qiladi. Shu asosda masalani tahlil qilish mumkin.

2). qisqacha yozuv ixcham, aniq bo`lishi va miqdorlar orasidagi boğlanishlarni har xil shaklda (jadval, chizma, rasm sxema) tasvirlash mumkin.

3). Qisqa yozuvning har bir bosqichini bajarishda o`qituvchi rahbarlik qiladi.

4. Darsning maqsadlari va masalaning qiyinchilik darajasiga qarab, o`quvchi yoki o`qituvchi doskaga yozishi mumkin.

Masalan: bolalar boğchasida ikki bidonda sut keltirishdi. Bir bidonda 32 l, ikkinchi bidonda esa 30 l sut bor. Tushlik uchun 40 l sut ishlatildi. Necha l sut qoldi?

Masalaning qisqacha yozuvi quyidagicha bo`ladi:

Keltirishdi-32l va 30 l

Echish: 32+30-40=22 l

Javob: 22 l sut qoldi

Masala6 o`quvchilar 80 kg uzum uzishdi.

S’Hundan 20 kgni maktab uchun qoldirib, qolgan uzumlarni yashiklarga joylab boğchaga jo`natildi. Har bir yashikka 10 kg dan uzum ketsa, boğchaga necha yashik uzum jo`natishgan?

Bu masalada ikkita har xil kattaliklar bor: uzum massasi va yashiklar soni.

Buni quyidagi jadval bilan yozuv qilib yechamiz.

qанча узум жo`на

Javob: 6 yashik uzum jo`natildi.

«Minglik» mavzusida masalalar yechish endi «o`nlik», Yuzlik» mavzulariga oid masalalarga tayangan holda uch xonali sonlar ustida masalalar yechishni ko`rib chiqamiz.

Masalan: bir bola uchta kitob o`qidi. Ularning hammasi 653 betdan iborat. 1 kitob 256 betli, 2-kitob undan 58 bet kam, 3-kitob necha bet? Masala shartini quyidagicha yozamiz.

1k-256 bet, 2 k-58 bet kam, 3k-?

Echish. 1). 256 2). 256 3). 653

198 в 454 в 199 в
Umumiy ifodasi 653-( (256-58)+256)=199

Javob: 3-kitob 199 bet

Masala: birinchi son 35, ikkinchi smon birinchi sondan 8 ta kam uchinchi son ikkinchi sondan 3 marta katta.

2son- 8 ta kam birinchi sondan

«Ko`p xonali sonlar» mavzusida masalalar yechish.

4-sinfdagi murakkab masalalarni shartli ravishda quyidagi tarlarga bo`lish mumkin:

Nisbatlar usuli bilan yechiladigan masalalar. Birlikka keltirish qoidasiga asosan yechiladi. Oldin bir son ikkinchi sondan necha marta ortiq yoki kamligini bilish kerak, so`ngra orttirish, yoki kamaytirish kerak, oxirgi savolga javob topish kerak.

Misol. 2 ta kulcha 12 so`m turadi. 6 ta kulcha qancha turadi?

1)1ta kulcha 12:2=6 so`m turadi.

Umumiy yozuv (12:2)*6 bo`ladi.

2).Proporsional bo`lishga doir masalalar.

Bunday masalalar yechishdan oldin tayyorlo mashqlari bajariladi. Misol oldin 3 ta piyola sotib olindi, keyin shundan 2 ta olindi. Hammasi uchun 250 so`m to`landi.

Har qaysi olgan piyolalarga necha so`mdan to`langan?

1).hammasi bo`lib qancha piyola olingan 3+2=5 p

2).bitta piyola qancha turadi? 250:5=50 so`m

3). 3 ta piyola qancha turadi? 3*50=150 so`m

4). 2 ta piyola qancha turadi? 2*50=100 so`m.

Masalani yechib bo`lgandan keyin masala javobini tekshirib qarash kerak. To`langan hamma pul 150+100=250 so`m bo`ladi.

Profesional bo`lishga doir masala tahlilini va qisqacha tushuntirishni jadvalda ko`rsatib, undan keyin yaxshi natijaga erishish mumkin.

Misol. Bir bo`lakda 5 gazlama, ikkinchi bo`lakda shunday 7 gazlama bor. Agar ikkala bo`lak uchun 3600 so`m to`langan bo`sa, har bir bo`lak gazlama qancha turadi.

Bundan keyin ayirmaga doir murakkabroq masalalarga o`tiladi. Misol, 1-to`pda 3m, 2-to`pda 7 m gazlama bor. 2-to`pdagi gazlama 1-ga qaraganda 2400 so`m ortiq turadi 1 m gazlama va har bir to`p qancha turadi?

Masalani yechish uchun savollar tuzamiz:

a) necha m gazlama 2400 so`m turadi? 7-3=4 m

b) 1 m gazlama qancha turadi? 2400:4=600 so`m

v) 3 m gazlama qancha turadi? 600*3=1800 so`m

g) 7 m gazlama qancha turadi? 600*7=4200 so`m

4). Xarakatga doir masalalar. Tezlik, vaqt, masofani hisoblashga doir masalalar:

a) tezlikni topishga doir. «Piyoda 3 soatda 12 km yo`l yurgan, uning tezligi qancha?

Bunda tezlikni topish uchun masofani vaqtga bo`lish kerak, degan qoidani keltirib chiqaradi.

тезлик Ваqт Масофа
? 3 соат 12 км

v) Masofani topishga doir. Piyoda 3 soatda 6 km tezlik bilan yo`l yurdi. U qancha masofa o`tgan.

тезлик Ваqт Масофа
6 км 3 соат ?

6*3=18 км

Masofa tezlik bilan vaqtning ko`paytmasiga teng,-degan qoidani keltirib chiqaradi.

v). Vaqtni topishga doir. Vaqt masofaning tezlikka bo`linmasiga teng.

тезлик Ваqт Масофа
6 км ? 12 км

Bu 3 ta kattalikning har birini topish o`zaro teskari bo`lgan 3 turdagi masalani yechish demakdir.

Umumiy holda quyidagicha bo`ladi.

Tayyorlov mashq sifatida quyidagi masalani yechish mumkin. 2 ta bola bir-biriga qarab yugurmoqda, uchrashgunga qadar birinchi bola 48 m, 2 si 37 m yugurdi. Ikkalasi necha m yugurgan?

S’Hundan keyin bir vaqtda va uchrashganda kabi so`zlarning mohiyatini va masala shaklini ko`rsatib ularga taaluqli masofa, tezlik, vaqtlarni hisoblash mumkinligini tushuntiradi. Misol. Ikkita shahardan bir-biriga qarab 2 poyezd turli vaqtda yo`lga chiqdi. 4 poyezdsoat 7 da, 2-si soat 9 da, ular soat 11 da uchrashadi.

Har qaysi poyezd uchrashguncha qancha vaqt yurgan? Bunday masalalarni yechishda 5 v, t kabi belgilashlarni kiritish tavsiya etiladi.

Masalan: 2- qishloqdan bir vaqtda 2 piyoda bir-biriga qarab yulga chiqdi va 3 soatdan keyin uchrashdi. Birinchisining tezligi 4 km, 2-siniki km. Qishloqlar orasidagi masofani toping?

Ko`rinishlarda yechish mumkin.

Bu yerda ham kombinasiya qilib 3 ta komponentdan ikkitasiga ko`ra 3-sini topishga doir teskari masalalar tuzib yechish mumkin. Teskari masala 27 km masofani 1-si 4 km, 2-si 5 km tezlik bilan yurib uchrashdilar.

Uchrashguncha qancha vaqt o`tgan?

Teskari masala: 27 km masofani bir-biriga qarab yo`lga chiqib 2 piyoda 3 soatdan keyin uchrashdilar 1-sining tezligi 4 km bo`lsa 2-siniki qancha?

Gugurt cho`plarining soni har xil bo`lgan uchta to`da. Uchala to`dada 48 ta cho`p bor.

Agar birinchi to`dadan 2-to`dada, shu 2-to`dada qancha bo`lsa, shuncha cho`pni olib qo`ysam, keyin ikkinchisidan 3-siga, shu uchinchida 3-to`dadan 1-ga, shu 1- to`dada bo`lgan qadar cho`p olib qo`yilsa, u holda hamma to`dadagi cho`plar soni bir xil bo`ladi.

Boshda har qaysi to`dada qancha cho`p bo`lgan.

M: Sirkka 260 o`quvchi kelishi kerak. Maktab 11 ta avtobusga buyurtma berdi. Avtokorxonada 20 va 30 o`rinli avtobuslar bor. Maktaga har qaysi avtobusdan nechta ajratish kerak?

10 (2х+3у)=260 22-2у+3у=26

11-4=7
Ikki yashikda 18 kg olxo`ri bor. Ikkinchi yashikda birinchi yashikka qaraganda 2 marta ortiq olxo`ri bor. Har bir yashikda necha kilogramm olxo`ri bor?

2x+x=18 3x=18 x=18:3 x=6 6*2=12

2.Ikkita qayiqlar to`xtash joyida teng miqdorda qayiqlar turibdi. Ulardan 25 tasi suvga tushgandan keyin birinchi to’xtash joyida 10ta , ikkinchi to’xtash joyida esa 5 ta qayiq qoldi. to`xtash joyida nechtadan qayiq bo`lgan.

x+x-25=10+5 2x-25=15 2x=15+25 2x=40 x=40:2

3.Avval olmalarning yarmi, so`ng yana 3 tasi yeyilgandan keyin likopchada 12 ta olma qoldi. Likopchada nechta olma bo`lgan?

4. Ota va ikki o`ğil 24 to`p ko`chat ekishdi.

Ota ikki o`ğil qancha ko`chat ekkan bo`lsa, shuncha ko`chat ekdi. O`ğillar esa o`zaro teng songa ko`chat ekishdi. Har qaysi o`ğil nechtadan ko`chat ekkan?

2x+x+x=24 4x=24 x=24:4 x=6

5. 18 ta bir xil shisternada xuddi shunday 11 ta shisternada qaraganda 350 t ko`p neft bor. 18 ta shisternada qancha neft bor.

18-11=7 350:7=70 18*50=900 t

Kamola, Dinora va Shoirada estrada yulduzlarining rasmlari bor. Kamoladagi rasmlar Dinoradagiga qaraganda 4 ta ortiq. Shoirada esa Dinoradagiga qaraganda 3 dona kam rasm bor. Agar qizlardagi rasmlar soni 46 ta bo`lsa, har birida nechtadan rasm bor?

Daryo bo`yida joylashgan ikki qishloq orasidagi masofa 48 km. Kater bu masofani oqim bo`yicha 2 soatda va oqimga qarshi 3 soatda bosib o`tdi. Bu masofani sol necha soatda o`tadi?

48km:2=24 km 24 –х=16+х 8=2х 48:4=12

48km:3=16 km 24-16=2х х=4

Aravaning oldingi ğildiragi 180 m masofaga 90 marta aylanadi.Keyingi ğildirag aylanasining uzunligi oldingi ğildirag aylanasining uzunligidan 1 m ortiq. Shu 180 m masofada aravaning keyingi ğildiragi necha marta aylanadi.

180:3=60 marta aylanadi.

Kitob javonining uchta tokchasida 105 ta kitob bor. Birinchi tokchadagi kitoblarga yana 15 ta kitob qo`shilgandan song hamma tokchalardagi kitoblar baravardan bo`ldi. Birinchi tokchada nechta kitob b0`lgan.

Gayrat va Ma’suda bajargan ishlari uchun 20 jeton to`lashdi. Gayrat 3 soat, Ma’suda 2 soat ishladi. To`langan pulni ular qanday bo`lib olishgan.

Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Umumiy o`rta ta’limning davlat ta’lim standarti va o`quv dasturi. Boshlanğich ta’lim «S’Harq» 1999 yil.

2. Boshlanğich sinflarda matematika o`qitish metodikasi. Toshkent «O`qituvchi» 1985 yil.

3. II-sinf matematikasi. Toshkent «O`qituvchi» 2003 yil.

4. III-sinf matematikasi. Toshkent «O`qituvchi» 2003 yil

5. IV-sinf matematikasi. Toshkent «O`qituvchi» 2002 yil.

6. Qiziqarli matematika. Kichik yoshdagi maktab o`quvchilari uchun. Toshkent «O`qituvchi» 1991 yil.

Do’stlaringiz bilan baham:

Ma’lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2023
ma’muriyatiga murojaat qiling

Matritsalar: Gauss usuli. Matritsani Gauss usuli bilan hisoblash: misollar

Video: Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. Oliy matematika.

Tarkib

  • Asosiy tushunchalar
  • Matritsali ko’rish
  • Matritsani pog’onali shaklga kamaytirish
  • Matritsalar va chiziqli tenglamalar tizimlari
  • Gauss usuli haqida umumiy ma’lumot
  • SLNni Gauss usuli bilan echishga misol
  • Gauss – Iordaniya usuli
  • Teskari matritsani Gauss – Jordan usuli bilan topishga misol
  • Gauss – Jordan usuli yordamida SLNni echish misoli
  • Onlayn kalkulyatorlar

Universitetlarda turli ixtisosliklar bo’yicha o’qitiladigan chiziqli algebra ko’plab murakkab mavzularni birlashtiradi. Ulardan ba’zilari matritsalar bilan, shuningdek Gauss va Gauss – Jordan usullari bilan chiziqli tenglamalar tizimini echish bilan bog’liq. Ushbu mavzularni, har xil masalalarni echish algoritmlarini hamma talabalar ham anglay olmaydilar. Keling, Gauss va Gauss – Iordaniya matritsalari va usullarini birgalikda ko’rib chiqamiz.

Asosiy tushunchalar

Chiziqli algebradagi matritsa elementlarning to’rtburchaklar qatorini anglatadi (jadval). Quyida qavs ichiga kiritilgan buyumlar to’plami mavjud. Bu matritsalar. Yuqoridagi misoldan ko’rishingiz mumkinki, to’rtburchaklar qatorlardagi elementlar nafaqat sonlardir. Matritsa matematik funktsiyalar, algebraik belgilardan iborat bo’lishi mumkin.

Ba’zi tushunchalarni tushunish uchun a elementlardan A matritsasini tuzamizij. Ko’rsatkichlar faqat harflar emas: i – jadvaldagi satr raqami, j – a element joylashgan chorrahadagi ustun soniij. Shunday qilib, biz a kabi elementlarning matritsasini olganimizni ko’ramiz11, a21, a12, a22 va hokazo. n harfi ustunlar sonini, m harfi qatorlar sonini bildiradi. M × n belgisi matritsaning o’lchamini bildiradi. Bu to’rtburchaklar elementlar qatoridagi qatorlar va ustunlar sonini belgilaydigan tushuncha.

Matritsada bir nechta ustun va satr bo’lishi shart emas. 1 × n o’lchovlar uchun elementlar massivi bitta qatorga, m × 1 uchun esa bitta ustunga ega. Agar qatorlar soni va ustunlar soni teng bo’lsa, matritsa kvadrat deyiladi.Har bir kvadrat matritsada determinant (det A) mavjud. Ushbu atama A matritsasi bilan bog’liq bo’lgan raqam sifatida tushuniladi.

Matritsalarni muvaffaqiyatli echish uchun yana bir nechta muhim tushunchalar asosiy va yon diagonallardir. Matritsaning asosiy diagonali – yuqori chap burchakdan stolning o’ng burchagiga tushadigan diagonal. Yon diagonali pastki chap burchakdan o’ng burchakka ko’tariladi.

Matritsali ko’rish

Quyidagi rasmga qarang. Unda siz matritsa va diagrammani ko’rasiz. Avval matritsa bilan shug’ullanamiz. Lineer algebrada bunday turdagi matritsa qadam matritsasi deb nomlanadi. Uning bitta xususiyati bor: agar aij i-qatordagi birinchi nolinchi element, so’ngra matritsadan quyidagi va chapdagi barcha boshqa elementlarij, nolga teng (ya’ni, harf belgilariga berilishi mumkin bo’lgan barcha elementlarkl, bu erda k> i va l<>

Endi sxemani ko’rib chiqamiz. Bu matritsaning pog’onali shaklini aks ettiradi. Diagrammada 3 turdagi hujayralar ko’rsatilgan. Har bir tur ma’lum elementlarni bildiradi:

  • bo’sh kataklar – matritsaning nol elementlari;
  • soyali kataklar – nolga teng yoki nolga teng bo’lmagan o’zboshimchalik elementlari;
  • qora kvadratchalar – nolga teng bo’lmagan elementlar, ular burchak elementlari, “qadamlar” deb nomlanadi (matritsada bunday elementlar yonida -1, 5, 3, 8 raqamlari ko’rsatilgan).

Matritsalarni echishda ba’zan qadamning “uzunligi” 1dan katta bo’lganida natija olinadi. Bunga yo’l qo’yiladi. Faqat qadamlarning “balandligi” muhim ahamiyatga ega. Bosqichli matritsada ushbu parametr har doim biriga teng bo’lishi kerak.

Matritsani pog’onali shaklga kamaytirish

Har qanday to’rtburchaklar matritsani pog’onali shaklga o’tkazish mumkin. Bu oddiy transformatsiyalar tufayli amalga oshiriladi. Ular quyidagilarni o’z ichiga oladi:

  • joylarda chiziqlarni qayta tashkil etish;
  • agar kerak bo’lsa, boshqa qatorning bir qatoriga qo’shib, biron bir raqamga ko’paytiring (siz ayirboshlash operatsiyasini ham bajarishingiz mumkin).

Muayyan muammoni hal qilishda elementar o’zgarishlarni ko’rib chiqing. Quyidagi rasmda A matritsasi ko’rsatilgan bo’lib, uni pog’onali shaklga o’tkazish kerak.

Muammoni hal qilish uchun biz algoritmga amal qilamiz:

  • Chap tarafdagi yuqori burchakdagi birinchi element (ya’ni “etakchi” element) 1 yoki –1 ga teng bo’lgan matritsada transformatsiyalarni bajarish qulay. Bizning holatimizda yuqori qatorning birinchi elementi 2 ga teng, shuning uchun birinchi va ikkinchi qatorlarni almashtiramiz.
  • 2, 3 va 4-qatorlar bo’yicha ayirish amallarini bajaramiz. “Etakchi” element ostida birinchi ustunda nollarni olishimiz kerak. Ushbu natijaga erishish uchun: 2-qator elementlaridan biz ketma-ket 2-songa ko’paytirilib, 1-qatorning elementlarini chiqaramiz; 3-qator elementlaridan biz ketma-ket 1-qator elementlarini ayirboshlaymiz, 4 ga ko’paytiramiz; satr No4 elementlaridan ketma-ket No1 satr elementlarini ayirib tashlaymiz.
  • Keyinchalik, biz kesilgan matritsa bilan ishlaymiz (1-ustunsiz va 1-qatorsiz). Ikkinchi ustun va ikkinchi qator kesishgan joyda yangi “burilish” elementi –1 ga teng. Qatorlarni o’zgartirishga hojat yo’q, shuning uchun biz birinchi ustunni va birinchi va ikkinchi qatorlarni o’zgarishsiz qayta yozamiz. “Etakchi” element ostida ikkinchi ustunda nollarni olish uchun ayirish amallarini bajaraylik: uchinchi qator elementlaridan biz ketma-ket ikkinchi qator elementlarini 3 ga ko’paytiramiz; to’rtinchi qator elementlaridan biz ketma-ket ikkinchi qator elementlarini ayiramiz, 2 ga ko’paytiramiz.
  • Oxirgi qatorni o’zgartirish kerak. Uchinchi qator elementlarini ketma-ketlikdagi elementlaridan chiqarib tashlang. Shunday qilib, biz pog’onali matritsani oldik.

Matritsalarni bosqichma-bosqich qisqartirish chiziqli tenglamalar (SLE) tizimlarini Gauss usuli bilan echishda qo’llaniladi. Ushbu usulni ko’rib chiqishdan oldin, SLN bilan bog’liq atamalarni tushunaylik.

Matritsalar va chiziqli tenglamalar tizimlari

Matritsalar turli fanlarda qo’llaniladi.Raqamlar jadvalidan foydalanib, masalan, Gauss usuli yordamida tizimga birlashtirilgan chiziqli tenglamalarni echishingiz mumkin. Dastlab, bir nechta atama va ularning ta’riflari bilan tanishib chiqamiz, shuningdek, bir nechta chiziqli tenglamalarni birlashtirgan tizimdan qanday qilib matritsa hosil bo’lishini ko’rib chiqamiz.

SLU birinchi darajadagi noma’lumlar mavjud bo’lgan va noma’lumlarning hosilasi bo’lgan atamalar mavjud bo’lmagan bir nechta algebraik tenglamalar.

SLN yechimi – noma’lumlarning topilgan qiymatlari, ularni almashtirganda tizimdagi tenglamalar identifikatsiyaga aylanadi.

Qo’shma SLN – bu kamida bitta echimga ega bo’lgan tenglamalar tizimi.

Mos kelmaydigan SLN – bu echimlari bo’lmagan tenglamalar tizimi.

Matritsa chiziqli tenglamalarni birlashtirgan tizim asosida qanday tuziladi? Tizimning asosiy va kengaytirilgan matritsalari kabi tushunchalar mavjud. Tizimning asosiy matritsasini olish uchun jadvalga noma’lum narsalar uchun barcha koeffitsientlarni kiritish kerak. Kengaytirilgan matritsa erkin a’zolar ustunini asosiy matritsaga qo’shish yo’li bilan olinadi (u tizimga har bir tenglama tenglashtirilgan ma’lum elementlarni o’z ichiga oladi). Siz ushbu rasmni quyidagi rasmni o’rganib tushunishingiz mumkin.

Rasmda ko’rgan birinchi narsa – bu chiziqli tenglamalarni o’z ichiga olgan tizim. Uning elementlari: aij – raqamli koeffitsientlar, xj – noma’lum miqdorlar, bmen – bepul atamalar (bu erda i = 1, 2, . m va j = 1, 2, . n). Rasmdagi ikkinchi element bu koeffitsientlarning asosiy matritsasi. Har bir tenglamadan koeffitsientlar qatorga yoziladi. Natijada, matritsada tizimda qancha tenglamalar bo’lsa, shuncha qator mavjud. Ustunlar soni har qanday tenglamadagi eng katta koeffitsientlar soniga teng. Rasmdagi uchinchi element – erkin a’zolar ustuniga ega kengaytirilgan matritsa.

Gauss usuli haqida umumiy ma’lumot

Lineer algebrada Gauss usuli SLEni echishning klassik usuli hisoblanadi. U 18-19 asrlarda yashagan Karl Fridrix Gauss nomi bilan atalgan. U barcha zamonlarning eng buyuk matematiklaridan biridir. Gauss usulining mohiyati chiziqli algebraik tenglamalar tizimi orqali elementar o’zgarishlarni amalga oshirishdan iborat. Transformatsiyalar yordamida SLN uchburchak (pog’onali) shaklning ekvivalent tizimiga tushiriladi, undan barcha o’zgaruvchilarni topish mumkin.

Shuni ta’kidlash kerakki, Karl Fridrix Gauss chiziqli tenglamalar tizimini echishning klassik usulini kashf etuvchi emas. Usul ancha oldin ixtiro qilingan. Uning birinchi tavsifi qadimgi xitoy matematiklarining bilimlari ensiklopediyasida “Matematik 9 ta kitobda” deb nomlangan.

SLNni Gauss usuli bilan echishga misol

Muayyan misol yordamida tizimlarni Gauss usuli bilan echimini ko’rib chiqamiz. Biz rasmda keltirilgan SLN bilan ishlaymiz.

  1. To’g’ridan-to’g’ri Gauss usuli yordamida biz tizimni pog’onali shaklga tushiramiz, lekin avval raqamli koeffitsientlar va erkin atamalarning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz.
  2. Matritsani Gauss usuli bilan hal qilish uchun (ya’ni uni pog’onali shaklga keltirish uchun) ketma-ket ikkinchi va uchinchi qator elementlaridan birinchi qator elementlarini chiqaramiz. Biz “etakchi” element ostida birinchi ustunda nollarni olamiz. Keling, qulaylik uchun ikkinchi va uchinchi qatorlarni joylarda o’zgartiring. Oxirgi satr elementlariga biz ketma-ket ikkinchi qator elementlarini 3 ga ko’paytiramiz.
  3. Matritsani Gauss usuli bilan hisoblash natijasida biz pog’onali elementlar massivini oldik. Uning asosida biz chiziqli tenglamalarning yangi tizimini tuzamiz. Gauss usulining teskari yo’nalishi bo’yicha biz noma’lum atamalarning qiymatlarini topamiz. Oxirgi chiziqli tenglamadan x ko’rinib turibdi3 tengdir 1. Ushbu qiymatni tizimning ikkinchi qatoriga qo’ying. Tenglama x ga teng2 – 4 = –4. Demak, x2 0 ga teng2 va x3 tizimning birinchi tenglamasiga: x1 + 0 +3 = 2. Noma’lum atama –1.

Javob: matritsa, Gauss usuli yordamida biz noma’lumlarning qiymatlarini topdik; x1 = –1, x2 = 0, x3 = 1.

Gauss – Iordaniya usuli

Chiziqli algebrada Gauss-Jordan usuli kabi tushunchalar ham mavjud. U Gauss usulining modifikatsiyasi deb hisoblanadi va teskari matritsani topishda, algebraik chiziqli tenglamalarning kvadratik tizimlarining noma’lum hadlarini hisoblashda ishlatiladi. Gauss – Iordaniya usuli SLNlarni bir bosqichda (oldinga va orqaga harakatlarni ishlatmasdan) echishga imkon beradiganligi bilan qulaydir.

Keling, “teskari matritsa” atamasidan boshlaymiz. Bizda A matritsasi bor deylik, uning teskarisi A matritsasi -1 , va shart bajarilishi kerak: A × A -1 = A -1 × A = E, ya’ni bu matritsalarning ko’paytmasi identifikatsiya matritsasiga teng (identifikatsiya matritsasi uchun asosiy diagonal elementlari birlik, qolgan elementlari esa nolga teng).

Muhim nuance: chiziqli algebrada teskari matritsa mavjudligi haqidagi teorema mavjud. A matritsaning mavjudligi uchun etarli va zaruriy shart -1 – A matritsaning noaniqligi, agar noaniqlik bo’lsa, det A (determinant) nolga teng emas.

Gauss-Jordan uslubiga asoslangan asosiy qadamlar:

  1. Muayyan matritsaning birinchi qatoriga qarang. Agar birinchi qiymat nolga teng bo’lmasa, siz Gauss-Jordan usulidan foydalanishni boshlashingiz mumkin. Agar birinchi o’rinda 0 bo’lsa, unda satrlarni almashtiring, shunda birinchi element nolga teng qiymatga ega bo’ladi (yaxshisi, raqam biriga yaqinroq).
  2. Birinchi qatorning barcha elementlarini birinchi raqamga bo’ling. Siz oxiridan bittadan boshlanadigan mag’lubiyatga erishasiz.
  3. Ikkinchi satrdan ikkinchi satrning birinchi elementiga ko’paytirilgan birinchi qatorni olib tashlang, ya’ni noldan boshlanadigan chiziq bilan yakunlanasiz. Qolgan chiziqlar bilan ham xuddi shunday qiling. Diagonalda 1 sonlarni olish uchun har bir qatorni uning birinchi nolga teng bo’lmagan elementiga bo’ling.
  4. Natijada siz Gauss-Jordan usuli yordamida yuqori uchburchak matritsani olasiz. Unda asosiy diagonal birliklar bilan ifodalanadi. Pastki burchak nol bilan, yuqori burchak esa turli xil qiymatlar bilan to’ldirilgan.
  5. Oldingi qatordan oxirgi omilni kerakli omilga ko’paytirib chiqaring. Sizda nol va bittadan iborat ip bo’lishi kerak. Qolgan qatorlar uchun xuddi shu amalni takrorlang. Barcha transformatsiyalardan so’ng birlik matritsasi olinadi.

Teskari matritsani Gauss – Jordan usuli bilan topishga misol

Teskari matritsani hisoblash uchun kengaytirilgan A | E matritsasini yozib, kerakli transformatsiyalarni bajarish kerak. Keling, oddiy bir misolni ko’rib chiqaylik. Quyidagi rasmda A matritsasi ko’rsatilgan.

  1. Birinchidan, matritsaning determinantini Gauss usuli bilan topamiz (det A). Agar bu parametr nolga teng bo’lmasa, u holda matritsa degenerativ hisoblanadi. Bu bizga A albatta A ga ega degan xulosaga kelishimizga imkon beradi -1 . Determinantni hisoblash uchun matritsani elementar transformatsiyalar orqali pog’onali shaklga o’tkazamiz. Qatorni almashtirish soniga teng bo’lgan K sonini hisoblaymiz. Biz faqat bir marta satrlarni almashtirdik. Keling, determinantni hisoblab chiqamiz. Uning qiymati asosiy diagonal elementlari ko’paytmasiga teng bo’ladi (–1) K . Hisoblash natijasi: det A = 2.
  2. Shaxs matritsasini asl matritsaga qo’shib kengaytirilgan matritsani tuzamiz. Olingan elementlar massivi teskari matritsani Gauss – Jordan usuli bilan topish uchun ishlatiladi.
  3. Birinchi satrda birinchi narsa bitta. Biz bundan mamnunmiz, chunki chiziqlarni qayta o’zgartirishga va berilgan qatorni istalgan raqamga bo’lishga hojat yo’q. Ikkinchi va uchinchi qatorlar bilan ishlashni boshlaymiz. Ikkinchi satrdagi birinchi elementni 0 ga aylantirish uchun, ikkinchi satrdan 3 ga ko’paytirilgan birinchi qatorni chiqaring, uchinchi qatordan birinchisini olib tashlang (ko’paytirish shart emas).
  4. Olingan matritsada ikkinchi qatorning ikkinchi elementi –4, uchinchi satrning ikkinchi elementi –1 ga teng. Qulaylik uchun chiziqlarni almashtiramiz. Uchinchi satrdan, 4 ga ko’paytirilgan ikkinchi qatorni olib tashlang. Ikkinchi qatorni –1 ga, uchinchisini esa 2 ga bo’ling. Biz yuqori uchburchak matritsani olamiz.
  5. Ikkinchi satrdan biz 4 ga ko’paytirilgan oxirgi qatorni, oxirgi qatordan 5 ga ko’paytiramiz. Keyingi, birinchi satrdan ikkinchi qatorni 2 ga ko’paytiramiz. Chap tomonda biz identifikatsiya matritsasini oldik. O’ng tomonda teskari matritsa joylashgan.

Gauss – Jordan usuli yordamida SLNni echish misoli

Rasmda chiziqli tenglamalar tizimi ko’rsatilgan. Matritsa, Gauss – Jordan usuli yordamida noma’lum o’zgaruvchilar qiymatlarini topish talab qilinadi.

  1. Keling, kengaytirilgan matritsani tuzamiz. Buning uchun koeffitsientlarni va erkin atamalarni jadvalga qo’ying.
  2. Matritsani Gauss – Jordan usuli bilan hal qilaylik. 2-qatordan 1-qatorni olib tashlang. 3-qatordan oldin 2 ga ko’paytirilgan No 1 qatorni olib tashlang.
  3. Keling, 2 va 3 qatorlarni almashtiramiz.
  4. 3-qatordan 2-songa ko’paytirilib, 2-qatorni olib tashlang. Olingan uchinchi qatorni –1 ga bo’ling.
  5. 2-qatordan 3-sonli qatorni olib tashlang.
  6. 1-qatordan –1 ga ko’paytirilib, 2-qatorni olib tashlang. Yon tomonda biz 0, 1 va –1 raqamlaridan iborat ustun oldik. Shundan xulosa qilamizki, x1 = 0, x2 = 1 va x3 = –1.

Agar xohlasangiz, hisoblangan qiymatlarni tenglamalarga almashtirish orqali echimning to’g’riligini tekshirishingiz mumkin:

  • 0 – 1 = –1, tizimdan birinchi identifikatsiya to’g’ri;
  • 0 + 1 + (–1) = 0, tizimdan ikkinchi identifikatsiya to’g’ri;
  • 0 – 1 + (–1) = –2, tizimdan uchinchi identifikatsiya to’g’ri.

Xulosa: Gauss – Jordan usuli yordamida biz chiziqli algebraik tenglamalarni birlashtirgan kvadrat sistemaning to’g’ri echimini topdik.

Onlayn kalkulyatorlar

Universitetlarda o’qiyotgan va chiziqli algebra o’qiyotgan zamonaviy yoshlarning hayoti ancha osonlashdi. Bir necha yil oldin tizimlarga Gauss va Gauss – Jordan usulida echimlarni mustaqil ravishda topish kerak edi. Ba’zi talabalar topshiriqlarni muvaffaqiyatli bajardilar, boshqalari esa echishda adashib, xatolarga yo’l qo’yishdi, o’rtoqlaridan yordam so’rashdi. Bugungi kunda siz uy vazifasini bajarayotganda onlayn kalkulyatorlardan foydalanishingiz mumkin. Chiziqli tenglamalar tizimini echish, teskari matritsalarni qidirish uchun nafaqat to’g’ri javoblarni, balki ma’lum bir masalani echish borishini ko’rsatadigan dasturlar yozilgan.

O’rnatilgan onlayn kalkulyatorlar bilan Internetda ko’plab manbalar mavjud. Matritsalar Gauss usuli bilan, tenglamalar tizimlari ushbu dasturlar yordamida bir necha soniya ichida hal qilinadi. Talabalar faqat kerakli parametrlarni ko’rsatishlari kerak (masalan, tenglamalar soni, o’zgaruvchilar soni).

Qanday qilib algebra va geometriyadan qiyin misol-masalalarni yechish mumkin?

Qanday qilib algebra va geometriyadan qiyin misol-masalalarni yechish mumkin?

– Ko’pchilik shu kabi masalalarda yagona yechim bu mavzuni o’zlashtirish deb o’ylashadi. Lekin aslida buning oson va yanada tezroq usuli bor.

– Hamma gap PhotoMath mobil ilovasi haqida ketmoqda. Uni play marketdan bepul yuklab oling, misollaringizni sur’atga oling va tayyor javobini bilib oling.

P.s. Haqiqatdanam zo’r ilova. Agar buni oldin eshitmagan bo’lsangiz, hoziroq sinab ko’ring va bilmaydigan do’stlaringizga ulashing ��

Oxshash xabarlar:

  • Algebra va geometriyadan qiyin misol-masalalarni tez va oson…
  • Misol va masalalarni qanday yechishni bilmayapsizmi?
  • 10-Sinf Algebra fanidan dars ishlanmalar. Konspekt
  • 10-sinf algebra va geometriya fani darsligi 2-qismi
  • Biologiyadan barcha masalalar to’plami va yechish usullari
  • O‘tish bali olish uchun nechta testni to‘g‘ri yechish kerak?
  • Qanday qilib daraxtlarni sifatli va ularning ohagini uzoq…
  • Eng qiyin til qaysi?
  • Asqad Muxtor: «Yosh yozuvchi bo‘lish qiyin»
  • Dasturlashni o’rganish qiyin(mi)?
  • Dunyodagi eng qiyin top 10 kasblar.
  • Dunyodagi kirish eng qiyin bo’lgan top 7 universitetlar.
  • O’rganish qiyin bo’lgan eng murakkab 7 til
  • Qanday qilib uy sharoitida, hech qanday parhezlarsiz ozish…
  • Qanday qilib har qanday biznesni muvaffaqiyatli ravishda…

Оставьте комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.