Matritsalar mahsulotini qanday topish mumkin. Matritsalarni ko paytirish. Matritsalarning skalyar mahsuloti. Uch matritsaning mahsuloti

3 × 3 matritsalar uchun determinant yanada murakkab formuladan foydalanib hisoblanadi. A matritsa uchun quyida keltirilgan:

Matritsalarni ko’paytirish

Matritsa – bu qatorlar va ustunlarga bo’lingan raqamlar, belgilar yoki ifodalarning to’rtburchaklar joylashuvi. Bunday matritsani boshqasiga ko’paytirish uchun birinchi matritsaning qatorlaridagi elementlarni (yoki raqamlarni) ikkinchisidagi qatorlar elementlariga ko’paytiring va ularning mahsulotini qo’shing. Qo’shish, ko’paytirish va to’g’ri tartibga solish yordamida matritsalarni bir necha oddiy qadamda ko’paytirishingiz mumkin. Shunchaki ushbu ko’rsatmalarga amal qiling.

harakat kursi

• Ushbu matritsalarni ko’paytirish mumkin. A matritsasida 3 ta ustun va B matritsasi 3 ta qatordan iborat.

• Matritsa A 2 qatorga ega, shuning uchun mahsulot ham 2 qatorga ega.
• B matritsasi 2 ta ustunga ega, shuning uchun mahsulot ham 2 ta ustunga ega.
• Ikki matritsaning mahsuloti 2 qator va 2 ustunga ega.

• 6 x -5 = -30
• 1 x 0 = 0
• -2 x 2 = -4
• -30 + 0 + (-4) = -34
• Ichki mahsulot -34 va u matritsaning pastki o’ng burchagiga tegishli.
  • Ichki mahsulot har doim birinchi matritsaning satri va ikkinchi matritsaning ustuni holatida bo’ladi. Ushbu misolda ikkinchi qator ikkinchi ustunga ko’paytiriladi, shunda mahsulot 2/2 pozitsiyasiga etadi.
  • 6 x 4 = 24
  • 1 x (-3) = -3
  • (-2) x 1 = -2
  • 24 + (-3) + (-2) = 19
  • Ichki mahsulot -19 va matritsa mahsulotining pastki chap burchagiga tegishli.
  • 2 x 4 = 8
  • 3 x (-3) = -9
  • (-1) x 1 = -1
  • 8 + (-9) + (-1) = -2
  • Ichki mahsulot -2 ga teng va matritsa mahsulotining yuqori chap burchagiga tegishli.
    • Oxirgi hosilni ham topish mumkin.Buning uchun birinchi matritsadagi birinchi qatorni ikkinchisining ikkinchi ustuniga ko’paytiring va qo’shing.

    Maslahatlar

    • Matritsalarni o’rnatayotganda, qaysi qiymat qaysi satr / ustunga tegishli ekanligini aniq ko’rishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling. Ajratgichlardan foydalanish yaxshidir. Bu faqat vizual yordam, lekin noto’g’ri qiymatlarni hisoblamaslikka yordam berishi mumkin.
    • O’zingizning oraliq jamilaringizni yozing. Matritsalarni ko’paytirish ba’zi oraliq hisob-kitoblarni talab qiladi va uni chalkashtirib yuborish va yo’qotish oson.
    • Ikki matritsaning ko’paytmasi har doim birinchi matritsadagi qatorlar soniga va ikkinchi matritsaga teng ustunlar soniga ega bo’ladi.

    Matritsalar mahsulotini qanday topish mumkin. Matritsalarni ko’paytirish. Matritsalarning skalyar mahsuloti. Uch matritsaning mahsuloti

    Matritsalar (sonli elementlarga ega jadvallar) bilan har xil hisoblash amallarini bajarish mumkin. Ulardan ba’zilari raqam, vektor, boshqa matritsa, bir nechta matritsalar bilan ko’paytirishdir. Ish ba’zan noto’g’ri bo’lib chiqadi. Noto’g’ri natija hisoblash harakatlarini bajarish qoidalarini bilmaslik natijasidir. Keling, ko’paytirishni qanday qilish kerakligini ko’rib chiqaylik.

    Matritsa va raqam

    Keling, eng oddiy narsadan boshlaylik – raqamlar bilan jadvalni ma’lum miqdorga ko’paytirish. Masalan, bizda a elementlari bo’lgan A matritsa mavjud_ij (i qator raqamlari va j – ustun raqamlari) va e soni. Matritsaning e soniga ko’paytmasi b elementlarga ega B matritsadir_ij, ular formula bo’yicha topiladi:

    Ya’ni b elementini olish uchun₁₁ a elementini olishingiz kerak₁₁ va b ni olish uchun uni kerakli songa ko’paytiring₁₂ a elementining mahsulotini topish talab qilinadi₁₂ va e raqamlari va boshqalar.

    Keling, rasmda keltirilgan 1-sonli muammoni hal qilaylik. B matritsasini olish uchun A dan elementlarni 3 ga ko’paytirish kifoya:

    1. a₁₁ × 3 = 18. Bu qiymatni B matritsaga 1-ustun va 1-qator kesishgan joyda yozamiz.
    2. a₂₁ × 3 = 15. Biz b elementini oldik₂₁.
    3. a₁₂ × 3 = –6. Biz b bandini oldik₁₂. Uni B matritsaga 2-ustun va 1-qator kesishgan joyda yozamiz.
    4. a₂₂ × 3 = 9. Bu natija b elementidir₂₂.
    5. a₁₃ × 3 = 12. Ushbu raqamni matritsaga b elementi o’rniga kiritamiz₁₃.
    6. a₂₃ × 3 = –3. Qabul qilingan oxirgi raqam b elementidir₂₃.

    Shunday qilib, biz raqamli elementlarga ega to’rtburchaklar massivni oldik.

    18	–6	12
    15	9	–3

    Vektorlar va matritsalar mahsulotining mavjudligi sharti

    Matematik fanlarda “vektor” degan narsa bor. Bu atama a dan boshlab tartiblangan miqdorlar to’plami sifatida tushuniladi₁ a ga_n. Bular vektor fazo koordinatalari deb ataladi va ustun shaklida yoziladi. Shuningdek, “transpozitsiyalangan vektor” atamasi ham mavjud. Uning tarkibiy qismlari qator sifatida joylashtirilgan.

    Vektorlarni matritsalar deb atash mumkin:

    • ustun vektori – bitta ustundan tuzilgan matritsa;
    • Qator vektori faqat bitta qatorni o’z ichiga olgan matritsadir.

    Matritsalar bo’yicha ko’paytirish amallarini bajarishda mahsulotning mavjudligi uchun shart mavjudligini yodda tutish kerak. A × B hisoblash harakati faqat A jadvalidagi ustunlar soni B jadvalidagi satrlar soniga teng bo’lganda amalga oshirilishi mumkin. Hisoblash natijasida hosil bo’lgan matritsa har doim A jadvalidagi qatorlar soniga va raqamga ega bo’ladi. B jadvalidagi ustunlar.

    Ko’paytirishda matritsalarni (omillarni) qayta joylashtirish tavsiya etilmaydi. Ularning ko‘paytmasi odatda ko‘paytirishning kommutativ (ko‘chiriladigan) qonuniga to‘g‘ri kelmaydi, ya’ni A × B amali natijasi B × A amali natijasiga teng emas. Bunday xususiyat ko‘paytirishning kommutativ emasligi deyiladi. matritsa mahsuloti. Ba’zi hollarda A × B ko’paytirish natijasi B × A ko’paytirish natijasiga teng, ya’ni mahsulot kommutativdir. A × B = B × A tengligi bajariladigan matritsalar almashtirish matritsalari deyiladi. Bunday jadvallarga misollar quyida keltirilgan.

    Ustun vektoriga ko’paytirish

    Matritsani ustun vektoriga ko’paytirishni amalga oshirishda mahsulotning mavjudligi shartini hisobga olishimiz kerak. Jadvaldagi ustunlar soni (n) vektor tuzilgan koordinatalar soniga mos kelishi kerak. Hisoblash natijasi o’zgartirilgan vektordir. Uning koordinatalari soni jadvaldagi chiziqlar soniga (m) teng.

    Agar A matritsa va x vektor bo’lsa, y vektorining koordinatalari qanday hisoblanadi? Hisoblash uchun formulalar yaratilgan:

    bu erda x₁, . x_n X-vektordan olingan koordinatalar, m – matritsadagi qatorlar soni va yangi y-vektordagi koordinatalar soni, n – matritsadagi ustunlar soni va x-vektordagi koordinatalar soni, a₁₁, a₁₂, . a_mn A matritsaning elementlari.

    Shunday qilib, yangi vektorning i-komponentini olish uchun nuqta mahsuloti bajariladi. I-qator vektori A matritsadan olinadi va u mavjud vektor x ga ko’paytiriladi.

    2-sonli masalani yechamiz. Matritsaning vektor ko‘paytmasini topish mumkin, chunki A 3 ta ustunga ega, x esa 3 ta koordinatadan iborat. Natijada, biz 4 koordinatali ustun vektorini olishimiz kerak. Yuqoridagi formulalardan foydalanamiz:

    1. y ni hisoblang₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Yakuniy qiymat 2 ga teng.
    2. y ni hisoblang₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Hisoblashda biz 0 ni olamiz.
    3. y ni hisoblang₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Ushbu omillarning ko’paytmalari yig’indisi 6 ga teng.
    4. y ni hisoblang₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinatasi -8.

    Matritsani ko’paytirish orqali qator vektori

    Ko’p ustunli matritsani qator vektoriga ko’paytira olmaysiz. Bunday hollarda ishning mavjudligi sharti bajarilmaydi. Ammo qator vektorini matritsaga ko’paytirish mumkin. Ushbu hisoblash operatsiyasi vektordagi koordinatalar soni jadvaldagi qatorlar soniga to’g’ri kelganda amalga oshiriladi. Vektor-matritsa mahsulotining natijasi yangi qator vektoridir. Uning koordinatalari soni matritsadagi ustunlar soniga teng bo’lishi kerak.

    Yangi vektorning birinchi koordinatasini hisoblash jadvaldan satr vektorini va birinchi ustun vektorini ko’paytirishni o’z ichiga oladi. Ikkinchi koordinata xuddi shunday tarzda hisoblanadi, lekin birinchi ustun vektori o’rniga ikkinchi ustun vektori olinadi. Bu erda koordinatalarni hisoblashning umumiy formulasi:

    qayerda y_k y-vektordan koordinata, (k 1 dan n gacha oraliqda), m – matritsadagi qatorlar soni va x-vektordagi koordinatalar soni, n – matritsadagi ustunlar soni va y-vektordagi koordinatalar soni, a alfanumerik raqamli indekslar bilan – A matritsasining elementlari.

    To’rtburchaklar matritsalar mahsuloti

    Ushbu hisoblash bosqichi qo’rqinchli ko’rinishi mumkin. Biroq, ko’paytirish oson. Keling, ta’rifdan boshlaylik.m satr va n ta ustundan iborat A matritsa va n ta satr va p ustunli B matritsaning ko‘paytmasi m satr va p ustunli C matritsa bo‘lib, unda c elementi_ij A jadvalning i-qator elementlari va B jadvalining j-ustunining ko‘paytmalari yig‘indisidir. Oddiyroq qilib aytganda c elementi_ij A jadvaldagi i-qator vektorining va B jadvaldagi j-ustun vektorining nuqta mahsuloti.

    Endi to’g’ri to’rtburchaklar matritsalar ko’paytmasini qanday topish mumkinligini amalda aniqlaymiz. Keling, ushbu muammoni hal qilaylik No 3. Mahsulotning mavjudligi sharti bajarildi. c elementlarini hisoblashni boshlaylik_ij:

    1. C matritsasi 2 satr va 3 ustundan iborat bo’ladi.
    2. c elementini hisoblang₁₁. Buning uchun A matritsadan 1-satr va B matritsadan 1-ustunning skalyar ko‘paytmasini bajaring. c.₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Keyin biz xuddi shu tarzda davom etamiz, faqat satrlar va ustunlarni o’zgartiramiz (elementning indeksiga qarab).
    3. c₁₂ = 12.
    4. c₁₃ = 9.
    5. c₂₁ = 31.
    6. c₂₂ = 18.
    7. c₂₃ = 36.

    Elementlar hisoblab chiqiladi. Endi faqat olingan raqamlardan to’rtburchaklar blok yasash qoladi.

    16	12	9
    31	18	36

    Uch matritsani ko’paytirish: nazariy qism

    Uchta matritsaning mahsulotini topa olasizmi? Ushbu hisoblash operatsiyasini bajarish mumkin. Natijani bir necha usul bilan olish mumkin. Masalan, 3 ta kvadrat jadval mavjud (bir xil tartibda) – A, B va C. Mahsulotni hisoblash uchun siz:

    1. Avval A va B ni ko’paytiring. Natijada C ga ko’paytiriladi.
    2. Avval B va C ko’paytmasini toping. Keyin A matritsasini olingan natijaga ko’paytiring.

    Agar siz to’rtburchaklar matritsalarni ko’paytirishingiz kerak bo’lsa, birinchi navbatda ushbu hisoblash operatsiyasi mumkinligiga ishonch hosil qilishingiz kerak. A × B va B × C mahsulotlari bo’lishi kerak.

    Qo’shimcha ko’paytirish xato emas. “Matritsani ko’paytirishning assotsiativligi” kabi narsa bor. Bu atama (A × B) × C = A × (B × C) tengligini anglatadi.

    Uch matritsani ko’paytirish: mashq

    Kvadrat matritsalar

    Keling, kichik kvadrat matritsalarni ko’paytirishdan boshlaylik. Quyidagi rasmda biz hal qilishimiz kerak bo’lgan 4-sonli vazifa ko’rsatilgan.

    Biz assotsiativlik xususiyatidan foydalanamiz. Avval biz A va B yoki B va C ni ko’paytiramiz. Biz faqat bir narsani eslaymiz: omillarni almashtira olmaysiz, ya’ni siz B × A yoki C × B ni ko’paytira olmaysiz. Bunday ko’paytirish bilan biz noto’g’ri natijaga erishamiz.

    Birinchi qadam. Umumiy hosilani topish uchun avval A ni B ga ko’paytiring. Ikki matritsani ko’paytirishda biz yuqorida aytib o’tilgan qoidalarga amal qilamiz. Demak, A va B ni ko’paytirish natijasida 2 qator va 2 ustunli D matritsa hosil bo’ladi, ya’ni to’rtburchaklar massiv 4 ta elementni o’z ichiga oladi. Hisoblash orqali ularni topamiz:

    • d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
    • d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
    • d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
    • d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

    Oraliq natija tayyor.

    30	10
    15	16

    Ikkinchi qadam. Endi biz D matritsasini C matritsasiga ko’paytiramiz. Natijada 2 qator va 2 ustunli kvadrat G matritsasi bo’lishi kerak. Keling, elementlarni hisoblaylik:

    • g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
    • g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
    • g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
    • g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

    Shunday qilib, kvadrat matritsalar mahsulotining natijasi hisoblangan elementlarga ega G jadvalidir.

    250	180
    136	123

    To’rtburchaklar matritsalar

    Quyidagi rasmda 5-sonli masala ko’rsatilgan. To’rtburchaklar matritsalarni ko’paytirish va yechimini topish talab qilinadi.

    A × B va B × C ko’paytmalarning mavjudligi sharti qanoatlantiriladimi yoki yo’qligini tekshirib ko’ramiz.Bu matritsalarning tartiblari ko’paytirishni amalga oshirishga imkon beradi. Keling, muammoni hal qilishni boshlaylik.

    Birinchi qadam. D ni olish uchun B ni C ga ko’paytiring. B matritsasi 3 qator va 4 ustunga, C matritsasi esa 4 qator va 2 ustunga ega. Bu shuni anglatadiki, bizda 3 ta satr va 2 ustunli D matritsasi bo’ladi. Keling, elementlarni hisoblaylik. Mana 2 ta hisob-kitob misoli:

    • d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
    • d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

    Muammoni hal qilishda davom etamiz. Keyingi hisob-kitoblar natijasida biz d qiymatlarini topamiz₂₁, d₂₂, d₃₁ va d₃₂. Bu elementlar mos ravishda 0, 19, 1 va 11 dir. Keling, topilgan qiymatlarni to’rtburchaklar massivga yozamiz.

    0	7
    0	19
    1	11

    Ikkinchi qadam. Yakuniy F matritsasini olish uchun A ni D ga ko’paytiring. U 2 qator va 2 ustunga ega bo’ladi. Keling, elementlarni hisoblaylik:

    • f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
    • f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
    • f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
    • f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

    Keling, uchta matritsani ko’paytirishning yakuniy natijasi bo’lgan to’rtburchaklar massivni tuzamiz.

    1	139
    3	52

    To’g’ridan-to’g’ri ish bilan tanishish

    Matritsalarning Kronecker mahsulotini tushunish juda qiyin. Uning qo’shimcha nomi ham bor – to’g’ridan-to’g’ri ish. Bu atama nimani anglatadi? Aytaylik, bizda m × n tartibli A jadval va p × q tartibli B jadval mavjud. A matritsaning B matritsasining to’g’ridan-to’g’ri ko’paytmasi mp × nq tartibli matritsadir.

    Bizda rasmda ko’rsatilgan 2 ta kvadrat A, B matritsalari bor. Birinchisi 2 ta ustun va 2 ta satr, ikkinchisi esa 3 ta ustun va 3 ta satrdan iborat. To’g’ridan-to’g’ri ko’paytma natijasida hosil bo’lgan matritsa 6 qator va aynan bir xil sonli ustunlardan iborat ekanligini ko’ramiz.

    To’g’ridan-to’g’ri mahsulotda yangi matritsaning elementlari qanday hisoblanadi? Agar chizmani tahlil qilsangiz, bu savolga javob topish juda oson. Birinchidan, birinchi qator to’ldiriladi. A jadvalining yuqori qatoridan birinchi elementni oling va B jadvalidagi birinchi qatorning elementlariga ketma-ket ko’paytiring. Keyin A jadvalining birinchi qatorining ikkinchi elementini oling va jadvalning birinchi qatori elementlariga ketma-ket ko’paytiring. B. Ikkinchi qatorni to’ldirish uchun A jadvalining birinchi qatoridan yana birinchi elementni oling va uni B jadvalining ikkinchi qatori elementlariga ko’paytiring.

    To’g’ridan-to’g’ri mahsulot tomonidan olingan yakuniy matritsa blok matritsa deb ataladi. Agar siz rasmni yana bir bor tahlil qilsangiz, bizning natijamiz 4 ta blokdan iborat ekanligini ko’rasiz. Ularning barchasi B matritsasining elementlarini o’z ichiga oladi. Bundan tashqari, har bir blokning elementi A matritsasining ma’lum bir elementiga ko’paytiriladi. Birinchi blokda barcha elementlar bir matritsaga ko’paytiriladi.₁₁, ikkinchisida – a tomonidan₁₂, uchinchisida – a tomonidan₂₁, to’rtinchisida – a tomonidan₂₂.

    Ishning aniqlovchisi

    Matritsalarni ko’paytirish mavzusini ko’rib chiqayotganda, “matritsalar mahsulotining determinanti” kabi atamani ham ko’rib chiqishga arziydi. Aniqlovchi nima? Bu kvadrat matritsaning muhim xarakteristikasi, bu matritsaga berilgan ma’lum bir qiymat. Identifikator harfi det.

    Ikki ustunli va ikkita qatorli A matritsa uchun determinantni topish oson. Muayyan elementlarning mahsulotlari o’rtasidagi farqni ifodalovchi kichik formula mavjud:

    Ikkinchi tartibli jadval uchun determinantni hisoblash misolini ko’rib chiqamiz. A matritsa mavjud bo’lib, unda a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 va a₂₂ = 1. Aniqlovchini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

    det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = –13.

    3 × 3 matritsalar uchun determinant yanada murakkab formuladan foydalanib hisoblanadi. A matritsa uchun quyida keltirilgan:

    Formulani yodlash uchun ular rasmda ko’rsatilgan uchburchak qoidasini o’ylab topishdi. Asosiy diagonalning elementlari birinchi navbatda ko’paytiriladi. Olingan qiymatga qizil tomonlari bo’lgan uchburchaklarning burchaklari bilan ko’rsatilgan elementlarning mahsulotlari qo’shiladi. Keyinchalik, yon diagonali elementlarning mahsuloti ayiriladi va ko’k tomonlari bo’lgan uchburchaklarning burchaklari bilan ko’rsatilgan elementlarning mahsuloti chiqariladi.

    Endi matritsa mahsulotining determinanti haqida gapiraylik. Bu ko’rsatkich faktorlar jadvallari determinantlari mahsulotiga teng ekanligini aytadigan teorema mavjud. Buni misol bilan tasdiqlaylik. Bizda a elementlari bo’lgan A matritsa mavjud₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 va a₂₂ = 1 va B matritsasi b elementlari bilan₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 va b₂₂ = 2. A va B matritsalarning aniqlovchilarini, A × B ko’paytmasini va ushbu ko’paytmaning determinantini toping.

    Birinchi qadam. A uchun determinantni hisoblaymiz: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = –1. Keyinchalik, B uchun determinantni hisoblaymiz: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

    Ikkinchi qadam. A × B mahsulotini topamiz. Yangi matritsa C harfi bilan belgilanadi. Uning elementlarini hisoblaymiz:

    • c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
    • c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
    • c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
    • c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

    Uchinchi qadam. C uchun determinantni hisoblaymiz: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = –3. Dastlabki matritsalarning determinantlarini ko’paytirish orqali olinishi mumkin bo’lgan qiymat bilan solishtiring. Raqamlar bir xil. Yuqoridagi teorema haqiqatdir.

    Ish darajasi

    Matritsaning darajasi chiziqli mustaqil satrlar yoki ustunlarning maksimal sonini aks ettiruvchi xususiyatdir. Darajani hisoblash uchun elementar matritsa o’zgarishlari amalga oshiriladi:

    • ikkita parallel qatorni qayta tartibga solish;
    • jadvaldan ma’lum bir qatorning barcha elementlarini nolga teng bo’lmagan songa ko’paytirish;
    • bir qatorning elementlariga boshqa qatordagi elementlarni qo’shish, ma’lum bir raqamga ko’paytiriladi.

    Elementar transformatsiyalardan so’ng ular nolga teng bo’lmagan chiziqlar soniga qarashadi. Ularning soni matritsaning darajasidir. Keling, oldingi misolni ko’rib chiqaylik. Unda 2 ta matritsa bor edi: A elementlari bilan₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 va a₂₂ = 1 va B elementlari b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 va b₂₂ = 2.Ko’paytirish natijasida olingan C matritsasidan ham foydalanamiz. Agar elementar o’zgarishlarni amalga oshirsak, u holda soddalashtirilgan matritsalarda nol qatorlar bo’lmaydi. Bu shuni anglatadiki, A jadvalining darajasi va B jadvalining darajasi va C jadvalining darajasi 2 ga teng.

    Endi biz matritsa mahsulotining darajasiga alohida e’tibor qaratamiz. Raqamli elementlarni o’z ichiga olgan jadvallar mahsulotining darajasi hech qanday omillarning darajasidan oshmaydi, degan teorema mavjud. Buni isbotlash mumkin. A k × s matritsa va B an s × m matritsa bo‘lsin. A va B ning mahsuloti C ga teng.

    Keling, yuqoridagi rasmni o’rganamiz. U C matritsasining birinchi ustunini va uning soddalashtirilgan tasvirini ko’rsatadi. Bu ustun A matritsasiga kiritilgan ustunlarning chiziqli birikmasidir. Xuddi shunday, biz C to’rtburchaklar massividan boshqa istalgan ustun haqida ham aytishimiz mumkin. Shunday qilib, C jadvalining ustun vektorlari tomonidan hosil qilingan pastki bo’shliqlar tomonidan tashkil etilgan pastki bo’shliqda mavjud. A jadvalining ustun vektorlari. Shu sababli №1 pastki fazoning o’lchami №2 pastki fazoning o’lchamidan oshmaydi. Bu C jadval ustunlaridagi daraja jadval ustunlaridagi darajadan oshmasligini bildiradi. A, ya’ni r (C) ≤ r (A). Agar shunga o’xshash tarzda fikr yuritadigan bo’lsak, u holda C matritsasining qatorlari B matritsasi qatorlarining chiziqli birikmasi ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. Bu r (C) ≤ r (B) tengsizlikni bildiradi.

    Matritsalar mahsulotini qanday topish juda murakkab mavzu. Uni osongina o’zlashtirish mumkin, ammo bunday natijaga erishish uchun siz barcha mavjud qoidalar va teoremalarni yodlashga ko’p vaqt sarflashingiz kerak bo’ladi.

    Matritsalarni qanday ko’paytirish kerak

    Matritsa – bu satrlar va ustunlardagi raqamlar, belgilar yoki iboralarning to’rtburchaklar shaklida joylashishi. Matritsalarni ko’paytirish uchun birinchi matritsa qatoridagi elementlarni (yoki raqamlarni) ikkinchi matritsa qatoridagi elementlarga ko’paytirish va mahsulotlarni qo’shish kerak. To’g’ri natijalarni qo’shish, ko’paytirish va joylashtirishni talab qiladigan bir necha oson bosqichlarda matritsalarni ko’paytirishingiz mumkin.

    Qadam

    1. Matrislarni ko’paytirishga ishonch hosil qiling. Agar birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning qatorlari soniga teng bo’lsa, siz faqatgina matritsani ko’paytira olasiz.
       • Ushbu matritsalarni ko’paytirish mumkin, chunki birinchi matritsa A matritsasi 3 ta ustunga, ikkinchi matritsa B matritsasi esa 3 ta qatorga ega.
    • A matritsa 2 qatorga ega, shuning uchun matritsa mahsuloti 2 qatorga ega bo’ladi.
    • B matritsasi 2 ta ustunga ega, shuning uchun matritsa mahsuloti 2 ta ustunga ega bo’ladi.
    • Matritsaning mahsuloti 2 qator va 2 ustundan iborat bo’ladi.
    • 6 x -5 = -30
    • 1 x 0 = 0
    • -2 x 2 = -4
    • -30 + 0 + (-4) = -34
    • Nuqtaning mahsuloti (nuqta) -34 ga teng va u matritsa mahsulotining pastki o’ng tomonida yozilgan.
      • Matritsani ko’paytirganda, ballar ko’paytmasi (nuqta) birinchi matritsa qatori va ikkinchi matritsa ustunining holati bo’yicha yoziladi. Masalan, siz ballar mahsulotini bilsangiz (nuqta) A matritsa pastki qatoridan va B matritsa o’ng ustunidan, -34, javob matritsa mahsulotining pastki qatori va o’ng ustunida yoziladi.
      • 6 x 4 = 24
      • 1 x (-3) = -3
      • (-2) x 1 = -2
      • 24 + (-3) + (-2) = 19
      • Nuqtaning mahsuloti (nuqta) -19 ga teng va u matritsa mahsulotining pastki chap tomonida yozilgan.
      • 2 x 4 = 8
      • 3 x (-3) = -9
      • (-1) x 1 = -1
      • 8 + (-9) + (-1) = -2
      • Nuqtaning mahsuloti (nuqta) -2 bo’lib, u matritsa mahsulotining yuqori chap qismida yozilgan.
        • Matritsa mahsulotining yuqori o’ng qismidagi atamani topish uchun nuqta mahsulotini toping (nuqta) A Matritsa yuqori qismidan va B Matritsaning o’ng ustunidan Mana buni qanday amalga oshirasiz:

        Maslahatlar

        • Chiziqlardan emas, balki chiziqlardan foydalanish noto’g’ri javob berishi mumkin. Agar satrni ifodalovchi chiziq ustun bo’ylab cho’zilishi kerak bo’lsa, uni cho’zing! Mahsulotning har bir elementi bilan ishlashda qaysi satr va ustunni ishlatishni osonlashtirish uchun bu shunchaki vizualizatsiya usulidir.
        • Ikki matritsaning mahsuloti birinchi matritsaning qatorlari soniga teng qatorlar sonini va ikkinchi matritsaning ustunlar soniga teng ustunlar sonini hosil qiladi.
        • Summani yozing. Ko’paytmali matritsalar ko’p hisoblashlarni o’z ichiga oladi va ularni chetlab o’tib, qaysi raqamni ko’paytirayotganingizni unutish juda oson.

        Related posts:

        Peritonit haqida Ammor ibn Yosir Baqlajonli pirog Elektron hamyonlardan qanday qilib pul yechish mumkin