Press "Enter" to skip to content

Teskari matritsa: hisoblash va echilgan mashqlar

Maqsad ushbu operatsiyalar orqali asl matritsani identifikatsiya matritsasiga aylantirishdir.

Teskari matritsa va uni qurish Teskari matritsa haqida tushuncha

n – tartibli kvadratik A = (aiκ) matritsa berilgan bo`lsin. Agar A matritsa determinanti noldan farq qilib, uning rangi tartibi n ga teng bo`lsa, matritsaga maxsusmas matritsa deyiladi. Agarda det(A) = 0 bo`lib, ran-gi n dan kichik bo`lsa, A matritsaga maxsus matritsa deyiladi.

Teorema. Ikki teng tartibli kvadrat matritsalarning ko`paytmasi, ko`paytuvchi matritsalarning har biri maxsusmas bo`lgandagina, maxsusmas matritsadan iborat bo`ladi.

To`g`ridan-to`g`ri ko`paytirish yo`li bilan n – tartibli birlik E va n –tartibli har qanday A matritsalarning o`zaro o`rin almashinuvchi ekanli-gini, ko`paytma A matritsani berishini, ya`ni AE = EA = A tengliklar o`rinli bo`lishini misollarda tekshirib ko`rish qiyin emas.

Berilgan A kvadratik matritsaning teskari matritsasi deb, tartibi A mat-ritsaning tartibiga teng va A matritsaga chapdan yoki o`ngdan ko`paytmasi birlik E matritsaga teng bo`lgan A -1 matritsaga aytiladi: A -1 A = AA -1 = E.

Yuqoridagi teoremaga asosan E birlik matritsaning maxsusmas ekanligini e`tiborga olsak, maxsus matritsaning teskari matritsaga ega emasligini xulosa qilamiz. Har qanday maxsusmas kvadrat matritsaning yagona teskari matritsasi mavjudligi quyidagi teoremadan kelib chiqadi.

Teorema. Teskari matritsa mavjud bo`lishi uchun det(A) ≠ 0 bo`lib, A matritsaning maxsusmas bo`lishi zarur va yetarli.
2. Teskari matritsa qurish algoritmlari
Berilgan maxsusmas kvadrat matritsaning teskari matritsasini qu-rishning «klassik» va Jordan usullari mavjud.

Berilgan A = (aiκ) kvadratik matritsa har bir elementini o`zining ad`yunkti bilan almashtirib, so`ngra hosil bo`lgan matritsani transponirlasak, quyidagi A matritsa elementlari mos ad`yunktlari matritsasining transponirlangan matritsasi A  ni hosil qilamiz:

A  matritsaga A matritsaning qo`shma matritsasi deyiladi.

n- tartibli determinantning 6 va 7 xossalariga asosan:

Tenglikni ixcham shaklda AA  = det AE ko`rinishda yozish mum-kin. Tenglamaning ikkala tomonini noldan farqli det A ga bo`lsak,
.
Ikkinchi tomondan teskari matritsa ta`rifiga binoan AA -1 = E. Teng-lamalarni solishtirib, A kvadratik maxsusmas matritsaning teskari mat-ritsasi A -1 uchun quyidagi formulani olamiz:

Oxirgi formula A maxsusmas matritsaning teskarisini qurish klassik usul formulasi deyiladi. Umuman olganda, klassik usulda teskari matritsa qurish jarayoni quyidagi ketma-ket bajariladigan qadamlarni o`z ichiga oladi:

1. Berilgan A kvadrat matritsa determinanti kattaligi hisoblanadi. Agar detA ≠ 0 bo`lsa, keyingi qadamga o`tiladi. Agarda detA = 0 bo`lsa, A matritsa maxsus va teskari matritsa mavjud emas;

2. A = (aiκ) matritsa elementlarining mos ad`yunklari hisoblanadi va tartib saqlangan holda, matritsa elementlari mos ad`yunktlari matritsasi (Aiκ) tuziladi;

3. (Aiκ) matritsa transponirlanadi va A matritsa elementlari mos ad`yunklari matritsasining transponirlangan matritsasi yoki shuning o`zi qo`shma A  = (Aκi) matritsasi tuziladi;

4. A  = (Aκi) matritsa har bir elementi detA ga bo`linadi va A -1 teskari matritsa quriladi.

Masala. maxsusmas matritsaning teskari matritsasini klassik usulda quring.

Klassik usulda ikkinchi tartibli maxsusmas matritsa teskarisi

formula asosida quriladi. Formulani qo`llab,

natijani olamiz. Teskari matritsa to`g`ri qurilganini ta`rif asosida tekshirib ko`ramiz:

Demak, berilgan A matritsaning teskarisi .

Do’stlaringiz bilan baham:

Ma’lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2023
ma’muriyatiga murojaat qiling

Teskari matritsa: hisoblash va echilgan mashqlar

The Teskari matritsa berilgan matritsadan, bu identifikatsiya matritsasidagi asl natijalarga ko’paytiriladigan matritsa. Teskari matritsa chiziqli tenglamalar tizimini echish uchun foydalidir, shuning uchun uni qanday hisoblashni bilish muhimdir.

Matritsalar fizika, texnika va matematikada juda foydalidir, chunki ular murakkab masalalarni echishning ixcham vositasidir. Matritsalarning foydaliligi, ular teskari bo’lganda va ularning teskarisi ham ma’lum bo’lganda yaxshilanadi.

Grafik ishlov berish, Big Data, Data Mining, Machine Learning va boshqa sohalarda nxn matritsalarining teskari matritsasini juda katta n bilan, minglab yoki millionlab tartibda baholash uchun samarali va tezkor algoritmlardan foydalaniladi.

Chiziqli tenglamalar tizimiga ishlov berishda teskari matritsadan foydalanishni tasvirlash uchun biz eng oddiy holatdan boshlaymiz: 1 × 1 matritsalar.

Eng oddiy holat: bitta o’zgaruvchining chiziqli tenglamasi ko’rib chiqiladi: 2 x = 10.

X ning qiymatini topish g’oyasi, ammo u “matritsa” bilan bajariladi.

Vektorni ko’paytiradigan M = (2) matritsa (10) vektorga olib keladigan 1 × 1 matritsadir:

M matritsaning teskari tomoni M bilan belgilanadi -1 .

Ushbu “chiziqli tizim” ni yozishning umumiy usuli:

M X = B, bu erda X – vektor (x) va B – (10) vektor.

Ta’rifga ko’ra, teskari matritsa asl matritsaga ko’paytirilib, identifikatsiya matritsasi I ga olib keladi:

Ko’rib chiqilgan holatda M matritsasi -1 (½) matritsasi, ya’ni M -1 = (½) M dan beri -1 M = (½) (2) = (1) = I

X = (x) noma’lum vektorni topish uchun taklif qilingan tenglamada ikkala a’zo ham teskari matritsaga ko’paytiriladi:

M -1 M (x) = M -1 (10)

Ikkala vektorning tengligiga erishildi, ular faqat mos elementlari teng bo’lganda teng bo’ladi, ya’ni x = 5.

Matritsaning teskari tomonini hisoblash

Teskari matritsani hisoblashga turtki beradigan narsa, quyidagi 2 × 2 tizim kabi chiziqli tizimlarni echish uchun universal usulni topishdir:

Oldingi bobda o’rganilgan 1 × 1 holatining bosqichlarini bajarib, tenglamalar tizimini matritsa shaklida yozamiz:

Ushbu tizim ixcham vektor yozuvida quyidagicha yozilganligini unutmang.

Keyingi qadam M.ning teskari tomonini topishdir.

1-usul: Gauss eliminatsiyasidan foydalanish

Gaussni yo’q qilish usuli qo’llaniladi. Matritsa qatorlarida elementar amallarni bajarishdan iborat bo’lgan bu amallar:

– qatorni nolga teng bo’lmagan songa ko’paytiring.

– Bir qatordan boshqa qatorni yoki boshqa qatorning ko’paytmasini qo’shish yoki olib tashlash.

Maqsad ushbu operatsiyalar orqali asl matritsani identifikatsiya matritsasiga aylantirishdir.

Amalga oshirilgandan so’ng, xuddi shu operatsiyalar M matritsasidagi identifikatsiya matritsasiga nisbatan qo’llaniladi. M qatorlaridagi bir necha operatsiyalardan keyin unitar matritsaga aylantirilganda, dastlab birlik bo’lgan M ning teskari matritsasiga, ya’ni M ga aylantiriladi. -1 .

1- Biz jarayonni M matritsasini va uning yonida birlik matritsasini yozishdan boshlaymiz:

2- Biz ikkita qatorni qo’shamiz va natijani ikkinchi qatorga qo’yamiz, shu bilan biz ikkinchi qatorning birinchi elementida nolga egamiz:

3- Ikkinchi qatorni -1 ga ko’paytiramiz, ikkinchi qatorda 0 va 1 olinadi:

4- Birinchi qator ½ ga ko’paytiriladi:

5- Ikkinchisi va birinchi qo’shiladi va natija birinchi qatorga qo’yiladi:

6- Jarayonni tugatish uchun birinchi satr 2 ga ko’paytiriladi, birinchisida identifikatsiya matritsasi, ikkinchisida asl M matritsaning teskari matritsasi olinadi:

Tizim echimi

Teskari matritsa olinganidan so’ng, tenglamalar tizimi teskari matritsani ixcham vektorli tenglamaning ikkala a’zosiga qo’llash orqali hal qilinadi:

Qaysi biri aniq ko’rinadi:

Keyin matritsani ko’paytirish X vektorini olish uchun amalga oshiriladi:

2-usul: biriktirilgan matritsadan foydalanish

Ushbu ikkinchi usulda teskari matritsa asl matritsaning qo’shni matritsasidan boshlab hisoblanadi TO.

A tomonidan berilgan matritsa deylik:

qayergamen, j qator elementidir men va ustun j matritsaning TO.

Matritsaning biriktirilishi TO u chaqiriladi Adj (A) va uning elementlari:

reklamamen, j = (-1) (i + j) I Ai, j¦

qayerda Ai, j – bu asl matritsadan i qator va j ustunlarni olib tashlash natijasida olingan qo’shimcha minbar matritsa TO. ¦ The satrlari determinant hisoblanganligini bildiradi, ya’ni I Ai, j¦ kichik komplementar matritsaning determinantidir.

Teskari matritsa formulasi

Asl matritsaning qo’shni matritsasidan boshlab teskari matritsani topish formulasi quyidagicha:

Ya’ni, ning teskari matritsasi TO, TO -1 , qo’shimchasining transpozitsiyasidir TO ning determinantiga bo’lingan TO.

Transpozitsiya TO T matritsaning TO Bu satrlarni ustunlarga almashtirishda olingan, ya’ni birinchi qator birinchi ustunga, ikkinchi qator ikkinchi ustunga aylanadi va shunga o’xshash asl matritsaning n satrlari tugamaguncha.

Mashq hal qilindi

A matritsasi quyidagicha bo’lsin:

A biriktirilgan matritsasining har bir elementi hisoblanadi: Adj (A)

Natijada A, Adj (A) biriktirilgan matritsasi quyidagicha:

Keyin A, det (A) matritsaning determinanti hisoblanadi:

Nihoyat, A ning teskari matritsasi olinadi:

Adabiyotlar

  1. Entoni Nikolaides (1994) Determinants & Matrices. Pass nashr.
  2. Awol Assen (2013) 3 × 3 ning determinantlarini hisoblash bo’yicha tadqiqot
  3. Casteleiro Villalba M. (2004) Chiziqli algebraga kirish. ESIC tahririyati.
  4. Deyv Kirkbi (2004) Maths Connect. Geynemann.
  5. Jenni Olive (1998) Matematikasi: Talabaning omon qolish uchun qo’llanmasi. Kembrij universiteti matbuoti.
  6. Richard J. Braun (2012) 30 soniyali matematikalar: Matematikadagi 50 ta aqlni kengaytiruvchi nazariyalar. Ivy Press Limited.
  7. Matritsa. Lap Lambert akademik nashriyoti.

Qaytariladigan matritsa – Invertible matrix

Bu maqola uchun qo’shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo’shish. Ma’lumot manbasi bo’lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin.
Manbalarni toping: “Teskari matritsa” – Yangiliklar · gazetalar · kitoblar · olim · JSTOR ( 2020 yil sentyabr ) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

ko’paytma teskari bo’lgan matritsa

Yilda chiziqli algebra, an n-by-n kvadrat matritsa A deyiladi teskari (shuningdek bema’ni yoki noaniq) mavjud bo’lsa, an n-by-n kvadrat matritsa B shu kabi

A B = B A = Men n < displaystyle mathbf = mathbf = mathbf _ >

qayerda Menn belgisini bildiradi n-by-n identifikatsiya matritsasi va ishlatiladigan ko’paytirish odatiy holdir matritsani ko’paytirish. Agar shunday bo’lsa, unda matritsa B tomonidan noyob tarzda aniqlanadi A va (multiplikativ) deb nomlanadi teskari ning A , bilan belgilanadi A −1 . [1] [2] Matritsaning inversiyasi bu matritsani topish jarayoni B berilgan teskari matritsa uchun oldingi tenglamani qondiradigan A .

Bu kvadrat matritsa emas teskari deb nomlanadi yakka yoki buzilib ketgan. Kvadrat matritsa birlikdir agar va faqat agar uning aniqlovchi nolga teng. [3] Yagona matritsalar kamdan-kam uchraydi, chunki kvadrat matritsaning yozuvlari raqamlar chizig’i yoki murakkab tekislikning istalgan cheklangan hududidan tasodifiy tanlansa, matritsaning birlik bo’lishi ehtimoli 0 ga teng, ya’ni “deyarli hech qachon” yakka bo’ling. Kvadrat bo’lmagan matritsalar (m-by-n Buning uchun matritsalar mn ) teskari emas. Ammo, ba’zi hollarda bunday matritsa a ga ega bo’lishi mumkin chapga teskari yoki o’ng teskari. Agar A bu m-by-n va daraja ning A ga teng n ( nm ), keyin A chapga teskari, an n -by- m matritsa B shu kabi BA = Menn . Agar A darajaga ega m ( mn ), keyin u teskari teskari, an n -by- m matritsa B shu kabi AB = Menm .

Eng keng tarqalgan holat – bu matritsalar haqiqiy yoki murakkab raqamlar, bu ta’riflarning barchasi matritsalar uchun har qanday istalgan ustidan berilishi mumkin uzuk. Biroq, halqa komutativ bo’lgan taqdirda, kvadrat matritsaning teskari bo’lishi sharti shundaki, uning hal qiluvchi halqada qaytarilishi mumkin, bu umuman nolga teng bo’lmagan qat’iy talabdir. Kommutativ bo’lmagan halqa uchun odatiy determinant aniqlanmagan. Chapga teskari yoki o’ngga teskari bo’lish shartlari murakkabroq, chunki daraja tushunchasi halqalarda mavjud emas.

To’plami n × n matritsalarni ko’paytirish jarayoni bilan qaytariladigan matritsalar (va uzukdan yozuvlar) R) shakl guruh, umumiy chiziqli guruh daraja n, belgilangan G L n ( R ) < displaystyle GL_ (R)> . [1]

Mundarija

  • 1 Xususiyatlari
    • 1.1 Matritsaning teskari teoremasi
    • 1.2 Boshqa xususiyatlar
    • 1.3 Uning yordamchisiga nisbatan
    • 1.4 Identifikatsiya matritsasiga nisbatan
    • 1.5 Zichlik
    • 3.1 Gaussni yo’q qilish
    • 3.2 Nyuton usuli
    • 3.3 Keyli-Xemilton usuli
    • 3.4 O’ziga xos kompozitsiya
    • 3.5 Xoleskiy parchalanishi
    • 3.6 Analitik echim
      • 3.6.1 2 × 2 matritsalarning teskari yo’nalishi
      • 3.6.2 3 × 3 matritsalarning teskari yo’nalishi
      • 3.6.3 4 × 4 matritsalarning teskari yo’nalishi
      • 6.1 Regressiya / eng kichik kvadratchalar
      • 6.2 Haqiqiy vaqtda simulyatsiyalarda matritsalar teskari
      • 6.3 MIMO simsiz aloqasidagi matritsalar teskari

      Xususiyatlari

      Matritsaning teskari teoremasi

      Ruxsat bering A kvadrat bo’lmoq n tomonidan n a dan ortiq matritsa maydon K (masalan, maydon R haqiqiy sonlar). Quyidagi iboralar tengdir (ya’ni, har qanday matritsa uchun ularning hammasi to’g’ri yoki hammasi yolg’on): [4]

      A qaytarib bo’lmaydigan, ya’ni A teskari, noaniq yoki noaniq. A bu qatorga teng uchun n-by-n identifikatsiya matritsasi Menn. A bu ustunli ekvivalent uchun n-by-n identifikatsiya matritsasi Menn. A bor n burilish pozitsiyalari. det A ≠ 0 . Umuman olganda, a dan ortiq kvadrat matritsa komutativ uzuk agar u bo’lsa, faqat qaytarib olinadi aniqlovchi a birlik o’sha uzukda. A to’liq darajaga ega; anavi, daraja A = n . Tenglama Balta = 0 faqat ahamiyatsiz echimga ega x = 0. The yadro ning A ahamiyatsiz, ya’ni element sifatida faqat nol vektorni o’z ichiga oladi, ker (A) = 0>. Tenglama Balta = b har biri uchun to’liq bitta echimga ega b yilda K n . Ning ustunlari A bor chiziqli mustaqil. Ning ustunlari A oraliq K n . Kol A = K n . Ning ustunlari A shakl asos ning K n . Lineer transformatsiyalarni xaritalash x ga Balta a bijection dan K n ga K n . Bor n-by-n matritsa B shu kabi AB = Menn = BA . The ko’chirish A T qaytariladigan matritsa (shuning uchun qatorlar A bor chiziqli mustaqil, oraliq K n va shakllantiring asos ning K n ). 0 raqami an emas o’ziga xos qiymat ning A. Matritsa A ning chekli hosilasi sifatida ifodalanishi mumkin elementar matritsalar. Matritsa A chapga teskari (ya’ni mavjud) mavjud B shu kabi BA = Men ) yoki o’ng teskari (ya’ni mavjud a C shu kabi AC = Men ), bu holda ikkala chap va o’ng inversiyalar mavjud va B = C = A −1 .

      Boshqa xususiyatlar

      Bundan tashqari, quyidagi xususiyatlar qaytariladigan matritsa uchun amal qiladi A:

      Teskari matritsaning qatorlari V matritsaning U bor ortonormal ustunlariga U (va aksincha ustunlar uchun qatorlarni almashtirish). Buni ko’rish uchun, deylik UV = VU = I qatorlari qaerda V kabi belgilanadi v men T < displaystyle v_ ^ > va ning ustunlari U kabi siz j < displaystyle u_ > uchun 1 ≤ men , j ≤ n < displaystyle 1 leq i, j leq n>. Keyin aniq Evklidning ichki mahsuloti har qanday ikkitadan v men T siz j = δ men , j < displaystyle v_ ^ u_ = delta _ > . Ushbu xususiyat kvadrat matritsani teskari tuzishda ba’zi holatlarda foydali bo’lishi mumkin, bu erda ortogonal ustunlariga vektorlar (lekin ortonormal vektorlar shart emas) U ma’lum. Bunday holda, takroriylikni qo’llash mumkin Gram-Shmidt jarayoni teskari qatorlarni aniqlash uchun ushbu dastlabki to’plamga V.

      O’ziga teskari bo’lgan matritsa (ya’ni, matritsa) A shu kabi A = A −1 va A 2 = Men ), an deyiladi majburiy matritsa.

      Uning yordamchisiga nisbatan

      The yordamchi matritsaning A < displaystyle A>ning teskarisini topish uchun ishlatilishi mumkin A < displaystyle A>quyidagicha:

      Agar A < displaystyle A>bu n × n < displaystyle n times n>teskari matritsa, keyin

      Identifikatsiya matritsasiga nisbatan

      Matritsani ko’paytirishning assotsiativligidan kelib chiqadiki, agar

      uchun cheklangan kvadrat matritsalar A va B, keyin ham

      Zichlik

      Haqiqiy sonlar maydoni bo’yicha birlik n-by-n ning pastki qismi sifatida qaraladigan matritsalar R n×n , a null o’rnatilgan, ya’ni bor Lebesgue nolni o’lchash. Bu to’g’ri, chunki singular matritsalar ildizlarning ildizidir aniqlovchi funktsiya. Bu doimiy funktsiya, chunki u matritsa yozuvlarida polinom. Shunday qilib tilida o’lchov nazariyasi, deyarli barchasi n-by-n matritsalar teskari.

      Bundan tashqari, n-by-n qaytariladigan matritsalar a zich ochiq to’plam ichida topologik makon hammasidan n-by-n matritsalar. Teng ravishda, yagona matritsalar to’plami yopiq va hech qaerda zich oralig’ida n-by-n matritsalar.

      Amalda esa, o’zgarmas matritsalarga duch kelish mumkin. Va ichida raqamli hisob-kitoblar, qaytariladigan, ammo qaytarib bo’lmaydigan matritsaga yaqin bo’lgan matritsalar baribir muammoli bo’lishi mumkin; bunday matritsalar deyiladi yaroqsiz.

      Misollar

      Quyidagilarni ko’rib chiqing 2-by-2 matritsa:

      Invertatsiya qilinmaydigan yoki singular matritsaga misol sifatida matritsani ko’rib chiqing

      Ning determinanti B < displaystyle mathbf > 0 ga teng, bu matritsaning qaytarilmas bo’lishi uchun zarur va etarli shartdir.

      Matritsani teskari aylantirish usullari

      Gaussni yo’q qilish

      Gauss-Iordaniya yo’llanmasi bu algoritm yordamida berilgan matritsaning teskari ekanligini aniqlash va teskari tomonini topish mumkin. Shu bilan bir qatorda LU parchalanishi, teskari aylantirish osonroq bo’lgan yuqori va pastki uchburchak matritsalarni hosil qiladi.

      Nyuton usuli

      Umumlashtirish Nyuton usuli sifatida ishlatilgan multiplikativ teskari algoritm mos boshlang’ich urug’ini topish qulay bo’lsa, qulay bo’lishi mumkin:

      X k + 1 = 2 X k − X k A X k . < displaystyle X_ = 2X_ -X_ AX_ .>

      Viktor Pan va Jon Reyf boshlang’ich urug’ini yaratish usullarini o’z ichiga olgan ishlarni amalga oshirdilar. [6] [7] Bayt jurnali ularning yondashuvlaridan birini sarhisob qildi. [8]

      Nyuton usuli, yuqorida keltirilgan homotopiya uchun ishlab chiqarilgan ketma-ketlik kabi etarlicha o’zini tutadigan, tegishli matritsalarning oilalari bilan ishlashda ayniqsa foydalidir: ba’zida yangi teskari uchun taxminiylikni aniqlashtirish uchun yaxshi boshlang’ich nuqtasi deyarli mos keladigan oldingi matritsaning teskarisi bo’lishi mumkin. joriy matritsa, masalan, olishda ishlatiladigan teskari matritsalar juftligi matritsali kvadrat ildizlar Denman-Beavers iteratsiyasi bilan; har bir yangi matritsada takrorlashning bir nechta o’tishi kerak bo’lishi mumkin, agar ular bir-biriga etarlicha yaqin bo’lsa. Nyuton usuli Gauss-Jordan algoritmini “tegish” bilan tuzatish uchun ham foydalidir, bu kichik xatolar tufayli ifloslangan. nomukammal kompyuter arifmetikasi.

      Keyli-Xemilton usuli

      The Keyli-Gemilton teoremasi ning teskarisini beradi A < displaystyle A>det bilan ifodalanishi kerak ( A < displaystyle A>) ning izlari va kuchlari A < displaystyle A>: [9]

      s + ∑ l = 1 n − 1 l k l = n − 1. < displaystyle s + sum _ ^ lk_ = n-1.>

      A − 1 = 1 det ( A ) ∑ s = 1 n A s − 1 ( − 1 ) n − 1 ( n − s ) ! B n − s ( t 1 , t 2 , … , t n − s ) . < displaystyle mathbf ^ = < frac < det ( mathbf )>> sum _ ^ mathbf ^ < frac > > B_ (t_ , t_ , ldots, t_ ) .>

      O’ziga xos kompozitsiya

      Asosiy maqola: Matritsaning o’ziga xos tarkibi

      Agar matritsa A o’zgacha tuzilishi mumkin va agar uning hech bir o’ziga xos qiymati nolga teng bo’lmasa, u holda A teskari va teskari tomonidan berilgan

      Xoleskiy parchalanishi

      Asosiy maqola: Xoleskiy parchalanishi

      Agar matritsa A bu ijobiy aniq, keyin uning teskarisini quyidagicha olish mumkin

      qayerda L pastki uchburchakdir Xoleskiy parchalanishi ning Ava L * ning konjugat transpozitsiyasini bildiradi L.

      Analitik echim

      Asosiy maqola: Kramer qoidasi

      Transpozitsiyasini yozish kofaktorlar matritsasi, sifatida tanilgan yordamchi matritsa, shuningdek, teskari tomonni hisoblashning samarali usuli bo’lishi mumkin kichik matritsalar, ammo bu rekursiv usul katta matritsalar uchun samarasiz. Teskari tomonni aniqlash uchun kofaktorlar matritsasini hisoblaymiz:

      Shuning uchun; . uchun; . natijasida

      qayerda |A| bo’ladi aniqlovchi ning A, C bo’ladi kofaktorlar matritsasi va C T matritsani ifodalaydi ko’chirish.

      2 × 2 matritsalarning teskari yo’nalishi

      The kofaktor tenglamasi yuqorida sanab o’tilganlar uchun quyidagi natijani beradi 2 × 2 matritsalar. Ushbu matritsalarni teskari yo’naltirish quyidagicha amalga oshirilishi mumkin: [10]

      Bu mumkin, chunki 1/(reklamamiloddan avvalgi) ko’rib chiqilayotgan matritsaning determinantining o’zaro bog’liqligi va boshqa strategiya matritsa o’lchamlari uchun ham xuddi shu strategiyadan foydalanish mumkin.

      Keyli-Xemilton usuli beradi

      3 × 3 matritsalarning teskari yo’nalishi

      Hisoblash samaradorligi 3 × 3 matritsa inversiyasi tomonidan berilgan

      (bu erda skalar A matritsa bilan aralashmaslik kerak AAgar aniqlovchi nolga teng bo’lmasa, matritsa teskari bo’ladi, yuqoridagi o’ng tomonda vositachi matritsa elementlari bilan berilgan

      A = ( e men − f h ) , D. = − ( b men − v h ) , G = ( b f − v e ) , B = − ( d men − f g ) , E = ( a men − v g ) , H = − ( a f − v d ) , C = ( d h − e g ) , F = − ( a h − b g ) , Men = ( a e − b d ) . < displaystyle < begin A & = <> & (ei-fh), & quad & D & = <> & – (bi-ch), & quad & G & = <> & (bf-ce) ), B & = <> & – (di-fg), & quad & E & = <> & (ai-cg), & quad & H & = <> & – (af-cd), C & = < >& (dh-eg), & quad & F & = <> & – (ah-bg), & quad & I & = <> & (ae-bd). end >>

      Ning determinanti A ni qo’llash orqali hisoblash mumkin Sarrus hukmronligi quyidagicha:

      det ( A ) = a A + b B + v C . < displaystyle det ( mathbf ) = aA + bB + cC.>

      Keyli-Xemilton parchalanishi beradi

      det ( A ) = x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) . < displaystyle det ( mathbf ) = mathbf _ cdot ( mathbf _ times mathbf _ ).>

      Formulaning to’g’riligini o’zaro faoliyat va uchta mahsulotning xususiyatlaridan foydalangan holda va guruhlar uchun chap va o’ng teskari chiziqlar har doim mos tushishini tekshirish orqali tekshirish mumkin. Intuitiv ravishda, o’zaro faoliyat mahsulotlar tufayli har bir qator A − 1 < displaystyle mathbf ^ > ning mos kelmaydigan ikkita ustuniga ortogonaldir A < displaystyle mathbf > (ning diagonal bo’lmagan shartlarini keltirib chiqaradi Men = A − 1 A < displaystyle mathbf = mathbf ^ mathbf > nolga teng). Bo’linish

      det ( A ) = x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) < displaystyle det ( mathbf ) = mathbf _ cdot ( mathbf _ times mathbf _ )>

      1 = 1 x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) . < displaystyle 1 = < frac < mathbf > cdot ( mathbf _ times mathbf _ )>> mathbf > cdot ( mathbf _ times mathbf _ ).>

      4 × 4 matritsalarning teskari yo’nalishi

      Borayotgan o’lchov bilan, teskari uchun ifodalar A murakkablashmoq. Uchun n = 4 , Keyli-Xemilton usuli hanuzgacha boshqariladigan ifodaga olib keladi:

      To’siqni teskari aylantirish

      Matritsalar ham bo’lishi mumkin blokirovka bo’yicha teskari quyidagi analitik inversiya formulasidan foydalangan holda:

      qayerda A, B, C va D. bor matritsali pastki bloklar o’zboshimchalik bilan o’lchamdagi. (A to’rtburchak bo’lishi kerak, shunda uni teskari aylantirish mumkin. Bundan tashqari, A va D.CA −1 B bema’ni bo’lishi kerak. [11] Ushbu strategiya, ayniqsa foydalidir, agar A diagonali va D.CA −1 B (the Schur to’ldiruvchisi ning A) kichik matritsadir, chunki ular inversiyani talab qiladigan yagona matritsalardir.

      Ushbu uslub bir necha bor ixtiro qilingan va shu sababli Xans Bolts (1923), [ iqtibos kerak ] uni kimning inversiyasi uchun ishlatgan geodezik matritsalar va Tadeush Banachevich (1937), kim uni umumlashtirdi va uning to’g’riligini isbotladi.

      The nulllik teoremasi ning bekorligi aytadi A teskari matritsaning pastki o’ng qismidagi pastki blokning nolligiga teng va B teskari matritsaning yuqori o’ng qismidagi pastki blokning nullligiga teng.

      Tenglamaga olib kelgan teskari tartib (1) ishlaydigan matritsali blok operatsiyalarini bajargan C va D. birinchi. Buning o’rniga, agar A va B birinchi bo’lib operatsiya qilinadi va ta’minlanadi D. va ABD −1 C bema’ni, [12] natija

      Tenglama tenglamalari (1) va (2) olib keladi

      An ning blokirovka qilingan teskari yo’nalishi sababli n × n matritsa ikkita yarim o’lchovli matritsani teskari yo’naltirishni va ikkala yarim o’lchovli matritsani 6 marta ko’paytirishni talab qiladi, buni ko’rsatish mumkin algoritmni ajratish va yutish matritsani teskari aylantirish uchun blokirovkali inversiyani ishlatadigan, ichki ishlatilgan matritsani ko’paytirish algoritmi bilan bir xil murakkablikda ishlaydi. [13] Mavjud matritsani ko’paytirish algoritmlari ning murakkabligi bilan O(n 2.3727 ) operatsiyalar, eng yaxshi tasdiqlangan pastki chegara esa Ω ( n 2 jurnal n ) . [14]

      Ushbu formulani o’ng yuqori blok matritsasi sezilarli darajada soddalashtiradi B < displaystyle B>nol matritsa. Ushbu formulalar matritsalar foydalidir A < displaystyle A>va D. < displaystyle D>nisbatan oddiy teskari formulalarga ega (yoki psevdo teskari yo’nalishlar bloklar hammasi kvadrat bo’lmaganda. Ushbu maxsus holatda, yuqoridagi to’liq umumiylikda ko’rsatilgan blok matritsasini inversiya formulasi bo’ladi

      Neyman seriyali

      Agar matritsa A xususiyatiga ega

      keyin A bema’ni va uning teskarisi a bilan ifodalanishi mumkin Neyman seriyasi: [15]

      Yig’indini qisqartirish natijasida “taxminiy” teskari holat hosil bo’ladi, bu esa a sifatida foydali bo’lishi mumkin konditsioner. Qisqartirilgan ketma-ketlikni tezlashtirishi mumkinligiga e’tibor bering, Neyman qatori a geometrik sum. Shunday qilib, u qondiradi

      Shuning uchun, faqat 2 L − 2 < displaystyle 2L-2>hisoblash uchun matritsani ko’paytirish kerak 2 L < displaystyle 2 ^ > summaning shartlari.

      Umuman olganda, agar A qaytariladigan matritsaning “yaqinida” X bu ma’noda

      keyin A ma’nosiz va uning teskari tomoni

      Agar u ham shunday bo’lsa AX bor daraja 1 keyin bu soddalashtiradi

      p-adik yaqinlashish

      Ushbu bo’lim kengayishga muhtoj. Siz yordam berishingiz mumkin ( 2015 yil fevral )

      Agar A butun yoki ratsional koeffitsientli matritsa bo’lib, biz uning echimini izlaymiz o’zboshimchalik bilan aniqlik mantiqiy asoslar, keyin a p-adic yaqinlashtirish usuli aniq echimga aylanadi O ( n 4 jurnal 2 ⁡ n ) < displaystyle O (n ^ log ^ n)> , standartni nazarda tutgan holda O ( n 3 ) < displaystyle O (n ^ )> matritsani ko’paytirish qo’llaniladi. [16] Usul hal qilishga tayanadi n Dikson usuli orqali chiziqli tizimlar p-adik yaqinlashish (har birida O ( n 3 jurnal 2 ⁡ n ) < displaystyle O (n ^ log ^ n)> ) va o’zboshimchalik bilan aniq matritsali operatsiyalarga ixtisoslashgan dasturiy ta’minotda, masalan, IML-da mavjud. [17]

      O’zaro asosli vektorlar usuli

      Asosiy maqola: o’zaro asos

      Berilgan n × n < displaystyle n times n>kvadrat matritsa X = [ x men j ] < displaystyle mathbf = [x ^ ]> , 1 ≤ men , j ≤ n < displaystyle 1 leq i, j leq n>, bilan n < displaystyle n>qatorlari sifatida talqin qilingan n < displaystyle n>vektorlar x men = x men j e j < displaystyle mathbf _ = x ^ mathbf _ > (Eynshteyn yig’indisi taxmin qilingan) qaerda e j < displaystyle mathbf _ > standartdir ortonormal asos ning Evklid fazosi R n < displaystyle mathbb ^ > ( e men = e men , e men ⋅ e j = δ men j < displaystyle mathbf _ = mathbf ^ , mathbf _ cdot mathbf ^ = delta _ ^ > ), keyin foydalaning Klifford algebra (yoki Geometrik algebra ) biz o’zaro hisoblashamiz (ba’zan shunday deyiladi) ikkilamchi ) ustunli vektorlar x men = x j men e j = ( − 1 ) men − 1 ( x 1 ∧ ⋯ ∧ ( ) men ∧ ⋯ ∧ x n ) ⋅ ( x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x n ) − 1 < displaystyle mathbf ^ = x_ mathbf ^ = (- 1) ^ ( mathbf _ wedge cdots wedge () _ wedge cdots wedge mathbf _ ) cdot ( mathbf _ wedge mathbf _ wedge cdots wedge mathbf _ ) ^ > teskari matritsaning ustunlari sifatida X − 1 = [ x j men ] < displaystyle mathbf ^ = [x_ ]> . E’tibor bering, joy ” ( ) men < displaystyle () _ > “buni bildiradi” x men < displaystyle mathbf _ > “uchun yuqoridagi ifodada ushbu joydan olib tashlangan x men < displaystyle mathbf ^ > . Keyin bizda bor X X − 1 = [ x men ⋅ x j ] = [ δ men j ] = Men n < displaystyle mathbf mathbf ^ = [ mathbf _ cdot mathbf ^ ] = [ delta _ ^ ] = mathbf _ > , qayerda δ men j < displaystyle delta _ ^ > bo’ladi Kronekker deltasi. Bizda ham bor X − 1 X = [ ( e men ⋅ x k ) ( e j ⋅ x k ) ] = [ e men ⋅ e j ] = [ δ men j ] = Men n < displaystyle mathbf ^ mathbf = [( mathbf _ cdot mathbf ^ ) ( mathbf ^ < j>cdot mathbf _ )] = [ mathbf _ cdot mathbf ^ ] = [ delta _ ^ ] = mathbf _ > , talabga binoan. Agar vektorlar bo’lsa x men < displaystyle mathbf _ > keyin mustaqil ravishda chiziqli emas ( x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x n ) = 0 < displaystyle ( mathbf _ wedge mathbf _ wedge cdots wedge mathbf _ ) = 0> va matritsa X < displaystyle mathbf > teskari emas (teskari emas).

      Matritsaning teskari hosilasi

      Teskari matritsa deylik A parametrga bog’liq t. Keyin teskari hosilasi A munosabat bilan t tomonidan berilgan [18]

      Ning teskari hosilasi uchun yuqoridagi ifodani olish uchun A, matritsaning teskari ta’rifini farqlash mumkin A − 1 A = Men < displaystyle mathbf ^ mathbf = mathbf > va keyin teskari tomon uchun eching A:

      Xuddi shunday, agar ε < displaystyle varepsilon>u holda bu kichik raqam

      Umuman olganda, agar

      Ijobiy tamsayı berilgan n < displaystyle n>,

      d A n d t = ∑ men = 1 n A men − 1 d A d t A n − men , d A − n d t = − ∑ men = 1 n A − men d A d t A − ( n + 1 − men ) . < displaystyle < begin < frac < mathrm mathbf ^ > < mathrm t>> & = sum _ ^ mathbf ^ < frac < mathrm mathbf > < mathrm t>> mathbf ^ , < frac < mathrm mathbf ^ > < mathrm t>> & = – sum _ ^ mathbf ^ < frac < mathrm mathbf > < mathrm t>> mathbf ^ . end >>

      ( A + ε X ) n = A n + ε ∑ men = 1 n A men − 1 X A n − men + O ( ε 2 ) , ( A + ε X ) − n = A − n − ε ∑ men = 1 n A − men X A − ( n + 1 − men ) + O ( ε 2 ) . < displaystyle < begin ( mathbf + varepsilon mathbf ) ^ & = mathbf ^ + varepsilon sum _ ^ mathbf ^ mathbf mathbf ^ + < mathcal > ( varepsilon ^ ), ( mathbf + varepsilon mathbf ) ^ & = mathbf ^ – varepsilon sum _ ^ mathbf ^ mathbf mathbf ^ + < mathcal > ( varepsilon ^ ). end >>

      Umumlashtirilgan teskari

      Teskari matritsalarning ba’zi xususiyatlari bilan bo’lishiladi umumlashtirilgan inversiyalar (masalan, Mur-Penrose teskari ), bu har qanday kishi uchun belgilanishi mumkin m-by-n matritsa.

      Ilovalar

      Ko’pgina amaliy dasturlar uchun bu shunday emas a ni echish uchun matritsani aylantirish uchun zarur chiziqli tenglamalar tizimi; ammo, noyob echim uchun, u bu ishtirok etgan matritsaning teskari bo’lishi kerak.

      Kabi parchalanish texnikasi LU parchalanishi inversiyadan ancha tezroq va chiziqli tizimlarning maxsus sinflari uchun turli xil tezkor algoritmlar ham ishlab chiqilgan.

      Regressiya / eng kichik kvadratchalar

      Noma’lumlar vektorini baholash uchun aniq teskari shart emasligiga qaramay, teskari matritsaning diagonali (noma’lumlar vektorining orqa kovaryans matritsasi) da topilgan ularning aniqligini baholashning eng oson usuli. Biroq, matritsaning teskari diagonal yozuvlarini hisoblashning tezroq algoritmlari ko’p hollarda ma’lum. [19]

      Haqiqiy vaqtda simulyatsiyalarda matritsalar teskari

      Matritsaning inversiyasi muhim rol o’ynaydi kompyuter grafikasi, xususan 3D grafika renderlash va 3D simulyatsiyalar. Bunga ekranlardan dunyoga misol keltirish mumkin nurlarni quyish, ob’ektni dunyodan subspace-ga o’zgartirishi va jismoniy simulyatsiyalar.

      MIMO simsiz aloqasidagi matritsalar teskari

      Matritsaning inversiyasi ham muhim rol o’ynaydi MIMO Simsiz aloqada (Multiple Input, Multiple-Output) texnologiyasi. MIMO tizimi quyidagilardan iborat N uzatish va M antennalarni qabul qilish. Xuddi shu chastota diapazonini egallagan noyob signallar orqali yuboriladi N antennalarni uzatish va qabul qilish M antennalarni qabul qilish. Har bir qabul qiluvchi antennaga kelgan signal, ning chiziqli kombinatsiyasi bo’ladi N an hosil qiluvchi uzatiladigan signallar N × M uzatish matritsasi H. Bu matritsa uchun juda muhimdir H qabul qiluvchining uzatilgan ma’lumotni aniqlay olishi uchun teskari bo’lishi.

      Shuningdek qarang

      • Binomial teskari teorema
      • LU parchalanishi
      • Matritsaning ajralishi
      • Matritsa kvadrat ildizi
      • Kichik (chiziqli algebra)
      • Matritsaning qisman teskari tomoni
      • Pseudoinverse
      • Yagona qiymat dekompozitsiyasi
      • Woodbury matritsasi identifikatori

      Adabiyotlar

      1. ^ ab“Algebra belgilarining to’liq ro’yxati”. Matematik kassa. 2020-03-25 . Olingan 2020-09-08 .
      2. ^“O’zgaruvchan matritsalar”. www.sosmath.com . Olingan 2020-09-08 .
      3. ^ Vayshteyn, Erik V. “Matritsa teskari”. mathworld.wolfram.com . Olingan 2020-09-08 .
      4. ^ Vayshteyn, Erik V. “O’zgaruvchan matritsa teoremasi”. mathworld.wolfram.com . Olingan 2020-09-08 .
      5. ^ Xorn, Rojer A.; Jonson, Charlz R. (1985). Matritsa tahlili. Kembrij universiteti matbuoti. p. 14. ISBN978-0-521-38632-6 .
      6. .
      7. ^ Pan, Viktor; Reif, Jon (1985), Chiziqli tizimlarning samarali parallel echimi, Hisoblash nazariyasi bo’yicha 17-yillik ACM simpoziumi materiallari, Providents: ACM
      8. ^ Pan, Viktor; Reif, Jon (1985), Garvard universiteti hisoblash texnologiyalari bo’yicha tadqiqot markazi hisoboti TR-02-85, Kembrij, MA: Aiken hisoblash laboratoriyasi
      9. ^ “Katta matritsalarning teskari yo’nalishi”. Bayt jurnali. 11 (4): 181-190. 1986 yil aprel.
      10. ^ Dalilni B ilovasida topish mumkin Kondratyuk, L. A .; Krivoruchenko, M. I. (1992). “SU (2) rang guruhidagi supero’tkazuvchi kvark moddasi”. Zeitschrift für Physik A. 344: 99–115. doi:10.1007 / BF01291027.
      11. ^ Strang, Gilbert (2003). Chiziqli algebraga kirish (3-nashr). SIAM. p. 71. ISBN978-0-9614088-9-3 .
      12. , 2-bob, 71-bet
      13. ^ Bernshteyn, Dennis (2005). Matritsa matematikasi. Prinston universiteti matbuoti. p. 44. ISBN978-0-691-11802-4 .
      14. ^ Bernshteyn, Dennis (2005). Matritsa matematikasi. Prinston universiteti matbuoti. p. 45. ISBN978-0-691-11802-4 .
      15. ^ T. H. Kormen, C. E. Leyzerson, R. L. Rivest, S.Steyn, Algoritmlarga kirish, 3-nashr, MIT Press, Kembrij, MA, 2009, §28.2.
      16. ^Ran Raz. Matritsa mahsulotining murakkabligi to’g’risida. Hisoblash nazariyasi bo’yicha o’ttiz to’rtinchi ACM simpoziumi materiallarida. ACM Press, 2002 yil. doi:10.1145/509907.509932.
      17. ^ Styuart, Gilbert (1998). Matritsa algoritmlari: asosiy ajralishlar. SIAM. p. 55. ISBN978-0-89871-414-2 .
      18. ^ Xaramoto, X .; Matsumoto, M. (2009). “Butun sonli matritsalarni teskari hisoblash uchun p-adic algoritmi”. Hisoblash va amaliy matematika jurnali. 225: 320–322. doi: 10.1016 / j.cam.2008.07.044 .
      19. ^“IML – Butun sonli matritsa kutubxonasi”. cs.uwaterloo.ca . Olingan 14 aprel 2018 .
      20. ^ Magnus, Jan R.; Noydker, Xaynts (1999). Matritsali differentsial hisoblash: Statistika va Ekonometriyadagi dasturlar bilan (Qayta ko’rib chiqilgan tahrir). Nyu-York: John Wiley & Sons. 151-152 betlar. ISBN0-471-98633-X .
      21. ^ Lin, Lin; Lu, Tszianfen; Ying, Lexing; Avtomobil, Roberto; E, Vaynan (2009). “Metall tizimlarning elektron strukturasini tahlil qilishda qo’llaniladigan teskari matritsaning diagonalini olishning tez algoritmi”. Matematik fanlarda aloqa. 7 (3): 755–777. doi: 10.4310 / CMS.2009.v7.n3.a12 .

      Qo’shimcha o’qish

      • “Matritsaning teskari yo’nalishi”, Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
      • Kormen, Tomas H.; Leyzerson, Charlz E.; Rivest, Ronald L.; Shteyn, Klifford (2001) [1990]. “28.4: teskari matritsalar”. Algoritmlarga kirish (2-nashr). MIT Press va McGraw-Hill. 755-760 betlar. ISBN0-262-03293-7 .
      • Bernshteyn, Dennis S. (2009). Matritsa matematikasi: nazariya, faktlar va formulalar (2-nashr). Prinston universiteti matbuoti – orqali Google Books.
      • Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Maykl Siskind (2012 yil 15-noyabr). “Matritsa bo’yicha oshxona kitobi” (PDF) . 17-23 betlar.

      Tashqi havolalar

      Ushbu maqola foydalanish tashqi havolalar Vikipediya qoidalari yoki ko’rsatmalariga amal qilmasligi mumkin. Iltimos ushbu maqolani yaxshilang olib tashlash orqali haddan tashqari yoki noo’rin tashqi havolalar va kerak bo’lganda foydali havolalarni aylantirish izohlarga havolalar. ( 2015 yil iyun ) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

      • Sanderson, Grant (2016 yil 15-avgust). “Teskari matritsalar, ustunlar maydoni va bo’sh bo’shliq”. Chiziqli algebra mohiyati – orqali YouTube.
      • Strang, Gilbert. “Teskari matritsalar bo’yicha chiziqli algebra ma’ruzasi”. MIT OpenCourseWare.
      • Matritsa kalkulyatorining ramziy teskarisi ko’rsatilgan qadamlar bilan
      • Mur-Penrose teskari matritsasi
      • Skalar
      • Vektor
      • Vektor maydoni
      • Skalyar ko’paytirish
      • Vektorli proektsiya
      • Lineer span
      • Lineer xarita
      • Lineer proektsiya
      • Lineer mustaqillik
      • Lineer birikma
      • Asos
      • Asosning o’zgarishi
      • Qator va ustunli vektorlar
      • Qator va ustun oraliqlari
      • Kernel
      • O’ziga xos qiymatlar va xususiy vektorlar
      • Transpoze
      • Lineer tenglamalar
      • Ortogonallik
      • Nuqta mahsulot
      • Ichki mahsulot maydoni
      • Tashqi mahsulot
      • Gram-Shmidt jarayoni
      • Aniqlovchi
      • O’zaro faoliyat mahsulot
      • Uch mahsulot
      • Etti o’lchovli o’zaro faoliyat mahsulot
      • Geometrik algebra
      • Tashqi algebra
      • Bivektor
      • Multivektor
      • Tensor
      • Outermorfizm
      • Ikki tomonlama
      • To’g’ridan-to’g’ri summa
      • Funktsiya maydoni
      • Miqdor
      • Subspace
      • Tensor mahsuloti
      • Suzuvchi nuqta
      • Raqamli barqarorlik
      • Asosiy chiziqli algebra kichik dasturlari (BLAS)
      • Matritsa siyrak
      • Chiziqli algebra kutubxonalarini taqqoslash

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.