Qanday matritsaga teskari matritsa mavjud emas
matritsalarda A = aniqlovchilar: det A = -5 va det B = 1.
Matritsa va Determinant o’rtasidagi farq
Matritsalar va determinantlar muhim tushunchalardir, bu chiziqli algebra, bu erda matritsalar katta chiziqli tenglamalar va kombinatsiyani ifodalashning ixcham usulini beradi, aniqlovchilar esa ma’lum bir matritsa turiga xosdir.
Matritsa haqida ko’proq ma’lumot
Matritsalar – bu raqamlar qatorlar va ustunlar bilan joylashtirilgan to’rtburchaklar sonli massivlar. Matritsadagi ustunlar va qatorlar soni matritsa hajmini aniqlaydi. Odatda, matritsa to’rtburchak qavslar bilan bir xil tarzda ifodalanadi va raqamlar ichkaridagi qatorlar va ustunlar bo’yicha tekislanadi.
A 3 × 3 matritsa sifatida tanilgan, chunki u 3 ustun va 3 qatorga ega. A_ij bilan belgilangan raqamlar elementlar deb ataladi va satr raqami va ustun raqami bilan yagona aniqlanadi. Shuningdek, matritsa [a_ij] _ (3 × 3) sifatida ifodalanishi mumkin, ammo uning ishlatilishi cheklangan, chunki elementlar aniq berilmagan. Yuqoridagi misolni umumiy holatga yoyib, m × n o’lchamdagi umumiy matritsani aniqlashimiz mumkin;
A qatorida m qator va n ustun mavjud.
Matritsalar maxsus xususiyatlariga qarab turkumlanadi. Misol tariqasida qatorlar va ustunlar soni teng bo’lgan matritsa kvadrat matritsa, bitta ustunli matritsa esa vektor sifatida tanilgan.
Matritsalar bo’yicha operatsiyalar aniq belgilangan, ammo mavhum algebra qoidalariga amal qiling. Shuning uchun matritsalar orasidagi qo’shish, ayirish va ko’paytirish aqlli element bo’yicha amalga oshiriladi. Matritsalar uchun bo’linish aniqlanmagan, ammo teskari mavjud.
Matritsalar raqamlar to’plamining ixcham ifodasidir va u chiziqli tenglamani echishda osonlikcha ishlatilishi mumkin. Matritsalar chiziqli algebra sohasida, shuningdek, chiziqli o’zgarishlarga nisbatan keng qo’llaniladi.
Determinant haqida ko’proq ma’lumot
Determinant har bir kvadrat matritsa bilan bog’langan noyob son bo’lib, matritsadagi elementlar uchun ma’lum hisoblashni amalga oshirgandan so’ng olinadi. Amalda determinant matritsada elementlar uchun modul belgisini qo’yish bilan belgilanadi. Shuning uchun A ning aniqlovchisi quyidagicha berilgan;
va umuman m × n matritsa uchun
Determinantni olish amaliyoti quyidagicha;
| A | = ∑ n j = 1 aj Cij, bu erda Cij C tomonidan berilgan matritsaning kofaktoridirij= (-1) i + j Mij.
Determinant matritsaning xususiyatlarini belgilaydigan muhim omil hisoblanadi. Agar ma’lum bir matritsa uchun determinant nolga teng bo’lsa, matritsaning teskarisi mavjud bo’lmaydi.
Matritsa va Determinant o’rtasidagi farq nima?
• Matritsa – bu raqamlar guruhi, determinant esa ushbu matritsa bilan bog’liq noyob sondir.
• Determinantni kvadrat matritsalardan olish mumkin, aksincha emas. Determinant u bilan bog’liq bo’lgan noyob matritsani bera olmaydi.
• Matritsalar va determinantlarga tegishli algebra o’xshashlik va farqlarga ega. Ayniqsa, ko’paytmalarni bajarishda. Masalan, matritsalarni ko’paytirishni elementarlik bilan bajarish kerak, bu erda determinantlar bitta son bo’lib, oddiy ko’paytmaga amal qiladi.
• Aniqlovchilar matritsaning teskari tomonini hisoblash uchun ishlatiladi va agar determinant nolga teng bo’lsa, matritsaning teskarisi mavjud emas.
Determinantlar
Kvadrat matritsa elementlari orasidagi amallarni bajarishda raqam chaqiriladi matritsa determinanti. o’zini o’zi sifatida ifodalaydi det A matritsaning determinanti THE va qavslar, kvadrat qavslar yoki ikki qavatli chiziqlar bir tekis chiziqlar bilan almashtiriladi.
Matritsani misol qilib olish A = , uni kvadrat qavsda yoki ikki qavatli qiyshiqlarda ham ifodalash mumkin, uning determinanti det A = sifatida ifodalanadi
1-tartibli matritsa determinanti
1-tartibli kvadrat matritsada faqat bitta element mavjud: uning determinantining qiymati bu bitta elementning qiymati.
Misol:
Matritsa 2-tartibli determinant
2-tartibli kvadrat matritsaning determinantining qiymatini olish uchun asosiy diagonali va kichik diagonali elementlari ko’paytmasi orasidagi farqni hisoblash kerak.
Misol:
Tartibning matritsasi 3 dan katta yoki unga teng
Matritsalarning determinantini hisoblash tartibi 3 dan katta yoki unga teng bo’lgan ikkita usul mavjud: birinchisi, 3 ga yaqin bo’lgan buyruqlar uchun Sarrusning qoidasi. Ikkinchisi, umumiyroq, orqali hisoblash Laplas teoremasi.
Sarrusning qoidasi
matritsani olish THE 3-tartibda, uning determinanti quyidagicha hisoblanadi:
1. Matritsa yonidagi dastlabki ikkita ustunni nusxalash.
2. Asosiy diagonal elementlarini ko’paytiring, ularning to’g’ri parallelliklari uchun bir xil protsedurani bajaring.
3. Ikkinchi darajali diagonal elementlarini ko’paytiring, ularning o’ng qo’llari bilan parallel ravishda bir xil protsedurani bajaring.
4. 2 va 3 bosqichlarda olingan mahsulotlarning yig’indisini quyidagi tartibda ayting, quyidagi tartibda:
det A = (0 + 2 + 60) – (15 + 0 + 48)
Matritsaning determinanti THE U quyidagilar tomonidan beriladi:
det A = 62 – 63 = -1
Tartibi 3 dan katta bo’lgan matritsalar uchun bir xil protseduralar amalga oshiriladi, ammo birinchi bosqichda uning barcha ustunlari matritsaning yon tomoniga ko’chirilishi kerak, faqat o’ngdagi oxirgisi bundan mustasno.
Laplas teoremasi
Matritsaning determinanti THE, n-2 tartibli, bu qator koeffitsientlari (satr yoki ustun) elementlari mahsulotlarining yig’indisi.
Ushbu teoremani ishlab chiqishdan oldin uni ishlatish uchun zarur bo’lgan ba’zi tushunchalarni o’rganishingiz kerak.
Matritsani qisqartirish
Kvadrat matritsa berilgan THE, a kamaytirilgan matritsaTHEij satrni o’chirish yo’li bilan olinadi men va ustun j matritsaning THE.
Misol:
Matritsa A = bo’lsin kamaytirilgan matritsa A13 matritsaning birinchi qatori va uchinchi ustunini yo’q qilish yo’li bilan olinadi. THE
Kamaytirilgan A matritsa21 A satrining ikkinchi qatori va birinchi ustunini yo’q qilish yo’li bilan olinadi.
Kofaktor
Kvadrat matritsa berilgan THE n-2 tartibda, deyiladi kofaktor elementdan toij yilda THE haqiqiy raqam Cij = (-1) i + j . EBUijBeing, bo’lishij i satr va ustunni olib tashlash orqali A dan olingan qisqartirilgan matritsa j.
Misol:
A elementining kofaktorini hisoblang23 matritsaning THE, oldingi misolda ishlatilgan.
Shuning uchun a elementining kofaktori23 matritsaning THE é 9.
Laplas teoremasi bo’yicha determinantni hisoblash
A = matritsaning determinantini hisoblash uchun , oldingi misollarda ishlatilgan va quyidagilar kerak:
- qatorni (qatorni yoki ustunni) tanlang;
- o’sha qator elementlarining kofaktorlarini hisoblash;
- ushbu satrning har bir elementining mahsulotini mos ravishda qo’shib qo’ying
Uchinchi ustunni tanlash:
Boshqa muhim teoremalar
Binet teoremasi
agar THE va B bir xil tartibdagi kvadrat matritsalardir, shuning uchun u amal qiladi det (A • B) = det • det B.
Misol:
matritsalarda A = aniqlovchilar: det A = -5 va det B = 1.
Matritsalar orasidagi mahsulot THE va B Bu tomonidan berilgan.
Shunday qilib, det (THE • B) = 12 • 0 – 5 • 1 = -5.
Shu tarzda, bu isbotlangan det (THE • B) = det THE • det B, chunki -5 = (-5) • 1.
Binet teoremasining natijasi
Matritsaning teskari matritsasining determinanti THE matritsa determinantining teskarisiga teng THE.
Buni isbotlash uchun teskari matritsaning ta’rifidan boshlaymiz. Bundan kelib chiqadiki, A. THE -1 = / va qanday qilib det / = Har qanday buyurtma uchun 1, siz quyidagilarni yozishingiz mumkin:
Jakobi teoremasi
matritsa berilgan THE har qanday tartibda, agar qatori bo’lsa THE parallel qatorga, ilgari haqiqiy doimiy bilan ko’paytirilsa, biz matritsaga egamiz B uning determinantlari bir xil bo’ladi.
Misol:
Matritsalarni hisobga olgan holda THE
Ning ikkinchi qatoriga e’tibor bering B ning ikkinchi qatorining yig’indisi THE Uchinchi qatorning uch baravariga THE.
Shunday qilib, uning determinantlari bir xil degan xulosaga kelishdi.
Per: Paulo Magno da Kosta-Torres
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.