Qanday matritsaga teskari matritsa mavjud emas

matritsalarda A = aniqlovchilar: det A = -5 va det B = 1.

Matritsa va Determinant o’rtasidagi farq

Matritsalar va determinantlar muhim tushunchalardir, bu chiziqli algebra, bu erda matritsalar katta chiziqli tenglamalar va kombinatsiyani ifodalashning ixcham usulini beradi, aniqlovchilar esa ma’lum bir matritsa turiga xosdir.

Matritsa haqida ko’proq ma’lumot

Matritsalar – bu raqamlar qatorlar va ustunlar bilan joylashtirilgan to’rtburchaklar sonli massivlar. Matritsadagi ustunlar va qatorlar soni matritsa hajmini aniqlaydi. Odatda, matritsa to’rtburchak qavslar bilan bir xil tarzda ifodalanadi va raqamlar ichkaridagi qatorlar va ustunlar bo’yicha tekislanadi.

A 3 × 3 matritsa sifatida tanilgan, chunki u 3 ustun va 3 qatorga ega. A_ij bilan belgilangan raqamlar elementlar deb ataladi va satr raqami va ustun raqami bilan yagona aniqlanadi. Shuningdek, matritsa [a_ij] _ (3 × 3) sifatida ifodalanishi mumkin, ammo uning ishlatilishi cheklangan, chunki elementlar aniq berilmagan. Yuqoridagi misolni umumiy holatga yoyib, m × n o’lchamdagi umumiy matritsani aniqlashimiz mumkin;

A qatorida m qator va n ustun mavjud.

Matritsalar maxsus xususiyatlariga qarab turkumlanadi. Misol tariqasida qatorlar va ustunlar soni teng bo’lgan matritsa kvadrat matritsa, bitta ustunli matritsa esa vektor sifatida tanilgan.

Matritsalar bo’yicha operatsiyalar aniq belgilangan, ammo mavhum algebra qoidalariga amal qiling. Shuning uchun matritsalar orasidagi qo’shish, ayirish va ko’paytirish aqlli element bo’yicha amalga oshiriladi. Matritsalar uchun bo’linish aniqlanmagan, ammo teskari mavjud.

Matritsalar raqamlar to’plamining ixcham ifodasidir va u chiziqli tenglamani echishda osonlikcha ishlatilishi mumkin. Matritsalar chiziqli algebra sohasida, shuningdek, chiziqli o’zgarishlarga nisbatan keng qo’llaniladi.

Determinant haqida ko’proq ma’lumot

Determinant har bir kvadrat matritsa bilan bog’langan noyob son bo’lib, matritsadagi elementlar uchun ma’lum hisoblashni amalga oshirgandan so’ng olinadi. Amalda determinant matritsada elementlar uchun modul belgisini qo’yish bilan belgilanadi. Shuning uchun A ning aniqlovchisi quyidagicha berilgan;

va umuman m × n matritsa uchun

Determinantni olish amaliyoti quyidagicha;

| A | = ∑ n _{j = 1} a_j C_ij, bu erda C_ij C tomonidan berilgan matritsaning kofaktoridir_ij= (-1) i + j M_ij.

Determinant matritsaning xususiyatlarini belgilaydigan muhim omil hisoblanadi. Agar ma’lum bir matritsa uchun determinant nolga teng bo’lsa, matritsaning teskarisi mavjud bo’lmaydi.

Matritsa va Determinant o’rtasidagi farq nima?

• Matritsa – bu raqamlar guruhi, determinant esa ushbu matritsa bilan bog’liq noyob sondir.

• Determinantni kvadrat matritsalardan olish mumkin, aksincha emas. Determinant u bilan bog’liq bo’lgan noyob matritsani bera olmaydi.

• Matritsalar va determinantlarga tegishli algebra o’xshashlik va farqlarga ega. Ayniqsa, ko’paytmalarni bajarishda. Masalan, matritsalarni ko’paytirishni elementarlik bilan bajarish kerak, bu erda determinantlar bitta son bo’lib, oddiy ko’paytmaga amal qiladi.

• Aniqlovchilar matritsaning teskari tomonini hisoblash uchun ishlatiladi va agar determinant nolga teng bo’lsa, matritsaning teskarisi mavjud emas.

Determinantlar

Kvadrat matritsa elementlari orasidagi amallarni bajarishda raqam chaqiriladi matritsa determinanti. o’zini o’zi sifatida ifodalaydi det A matritsaning determinanti THE va qavslar, kvadrat qavslar yoki ikki qavatli chiziqlar bir tekis chiziqlar bilan almashtiriladi.

Matritsani misol qilib olish A = , uni kvadrat qavsda yoki ikki qavatli qiyshiqlarda ham ifodalash mumkin, uning determinanti det A = sifatida ifodalanadi

1-tartibli matritsa determinanti

1-tartibli kvadrat matritsada faqat bitta element mavjud: uning determinantining qiymati bu bitta elementning qiymati.

Misol:

Matritsa 2-tartibli determinant

2-tartibli kvadrat matritsaning determinantining qiymatini olish uchun asosiy diagonali va kichik diagonali elementlari ko’paytmasi orasidagi farqni hisoblash kerak.

Misol:

Tartibning matritsasi 3 dan katta yoki unga teng

Matritsalarning determinantini hisoblash tartibi 3 dan katta yoki unga teng bo’lgan ikkita usul mavjud: birinchisi, 3 ga yaqin bo’lgan buyruqlar uchun Sarrusning qoidasi. Ikkinchisi, umumiyroq, orqali hisoblash Laplas teoremasi.

Sarrusning qoidasi

matritsani olish THE 3-tartibda, uning determinanti quyidagicha hisoblanadi:

1. Matritsa yonidagi dastlabki ikkita ustunni nusxalash.

2. Asosiy diagonal elementlarini ko’paytiring, ularning to’g’ri parallelliklari uchun bir xil protsedurani bajaring.

3. Ikkinchi darajali diagonal elementlarini ko’paytiring, ularning o’ng qo’llari bilan parallel ravishda bir xil protsedurani bajaring.

4. 2 va 3 bosqichlarda olingan mahsulotlarning yig’indisini quyidagi tartibda ayting, quyidagi tartibda:

det A = (0 + 2 + 60) – (15 + 0 + 48)

Matritsaning determinanti THE U quyidagilar tomonidan beriladi:

det A = 62 – 63 = -1

Tartibi 3 dan katta bo’lgan matritsalar uchun bir xil protseduralar amalga oshiriladi, ammo birinchi bosqichda uning barcha ustunlari matritsaning yon tomoniga ko’chirilishi kerak, faqat o’ngdagi oxirgisi bundan mustasno.

Laplas teoremasi

Matritsaning determinanti THE, n-2 tartibli, bu qator koeffitsientlari (satr yoki ustun) elementlari mahsulotlarining yig’indisi.

Ushbu teoremani ishlab chiqishdan oldin uni ishlatish uchun zarur bo’lgan ba’zi tushunchalarni o’rganishingiz kerak.

Matritsani qisqartirish

Kvadrat matritsa berilgan THE, a kamaytirilgan matritsaTHE_ij satrni o’chirish yo’li bilan olinadi men va ustun j matritsaning THE.

Misol:

Matritsa A = bo’lsin kamaytirilgan matritsa A₁₃ matritsaning birinchi qatori va uchinchi ustunini yo’q qilish yo’li bilan olinadi. THE

Kamaytirilgan A matritsa₂₁ A satrining ikkinchi qatori va birinchi ustunini yo’q qilish yo’li bilan olinadi.

Kofaktor

Kvadrat matritsa berilgan THE n-2 tartibda, deyiladi kofaktor elementdan to_ij yilda THE haqiqiy raqam C_{ij = (-1)} i + j . EBU_ijBeing, bo’lish_ij i satr va ustunni olib tashlash orqali A dan olingan qisqartirilgan matritsa j.

Misol:

A elementining kofaktorini hisoblang₂₃ matritsaning THE, oldingi misolda ishlatilgan.

Shuning uchun a elementining kofaktori₂₃ matritsaning THE é 9.

Laplas teoremasi bo’yicha determinantni hisoblash

A = matritsaning determinantini hisoblash uchun , oldingi misollarda ishlatilgan va quyidagilar kerak:

• qatorni (qatorni yoki ustunni) tanlang;
• o’sha qator elementlarining kofaktorlarini hisoblash;
• ushbu satrning har bir elementining mahsulotini mos ravishda qo’shib qo’ying

Uchinchi ustunni tanlash:

Boshqa muhim teoremalar

Binet teoremasi

agar THE va B bir xil tartibdagi kvadrat matritsalardir, shuning uchun u amal qiladi det (A • B) = det • det B.

Misol:

matritsalarda A = aniqlovchilar: det A = -5 va det B = 1.

Matritsalar orasidagi mahsulot THE va B Bu tomonidan berilgan.

Shunday qilib, det (THE • B) = 12 • 0 – 5 • 1 = -5.

Shu tarzda, bu isbotlangan det (THE • B) = det THE • det B, chunki -5 = (-5) • 1.

Binet teoremasining natijasi

Matritsaning teskari matritsasining determinanti THE matritsa determinantining teskarisiga teng THE.

Buni isbotlash uchun teskari matritsaning ta’rifidan boshlaymiz. Bundan kelib chiqadiki, A. THE -1 = / va qanday qilib det / = Har qanday buyurtma uchun 1, siz quyidagilarni yozishingiz mumkin:

Jakobi teoremasi

matritsa berilgan THE har qanday tartibda, agar qatori bo’lsa THE parallel qatorga, ilgari haqiqiy doimiy bilan ko’paytirilsa, biz matritsaga egamiz B uning determinantlari bir xil bo’ladi.

Misol:

Matritsalarni hisobga olgan holda THE

Ning ikkinchi qatoriga e’tibor bering B ning ikkinchi qatorining yig’indisi THE Uchinchi qatorning uch baravariga THE.

Shunday qilib, uning determinantlari bir xil degan xulosaga kelishdi.

Per: Paulo Magno da Kosta-Torres