Matritsani ko paytirish – Matrix multiplication

Ushbu maqolada quyidagi notatsion konvensiyalar qo’llaniladi: matritsalar qalin harflar bilan bosh harflar bilan ifodalanadi, masalan. A ; vektorlar kichik harf bilan, masalan. a ; va vektorlar va matritsalar yozuvlari kursiv (chunki ular maydon raqamlari), masalan. A va a . Indeks yozuvlari ko’pincha ta’riflarni ifodalashning eng aniq usuli hisoblanadi va adabiyotda standart sifatida qo’llaniladi. The men, j matritsaning kiritilishi A bilan ko’rsatilgan (A)_ij , A_ij yoki a_ij , matritsalar to’plamidagi raqamli yorliq (matritsa yozuvlari emas) faqat obuna bo’lgan, masalan. A₁, A₂ , va boshqalar.

Qaytariladigan matritsa – Invertible matrix

Bu maqola uchun qo’shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo’shish. Ma’lumot manbasi bo’lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin.
Manbalarni toping: “Teskari matritsa” – Yangiliklar · gazetalar · kitoblar · olim · JSTOR ( 2020 yil sentyabr ) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

ko’paytma teskari bo’lgan matritsa

Yilda chiziqli algebra, an n-by-n kvadrat matritsa A deyiladi teskari (shuningdek bema’ni yoki noaniq) mavjud bo’lsa, an n-by-n kvadrat matritsa B shu kabi

A B = B A = Men n < displaystyle mathbf = mathbf = mathbf _ >

qayerda Men_n belgisini bildiradi n-by-n identifikatsiya matritsasi va ishlatiladigan ko’paytirish odatiy holdir matritsani ko’paytirish. Agar shunday bo’lsa, unda matritsa B tomonidan noyob tarzda aniqlanadi A va (multiplikativ) deb nomlanadi teskari ning A , bilan belgilanadi A −1 . [1] [2] Matritsaning inversiyasi bu matritsani topish jarayoni B berilgan teskari matritsa uchun oldingi tenglamani qondiradigan A .

Bu kvadrat matritsa emas teskari deb nomlanadi yakka yoki buzilib ketgan. Kvadrat matritsa birlikdir agar va faqat agar uning aniqlovchi nolga teng. [3] Yagona matritsalar kamdan-kam uchraydi, chunki kvadrat matritsaning yozuvlari raqamlar chizig’i yoki murakkab tekislikning istalgan cheklangan hududidan tasodifiy tanlansa, matritsaning birlik bo’lishi ehtimoli 0 ga teng, ya’ni “deyarli hech qachon” yakka bo’ling. Kvadrat bo’lmagan matritsalar (m-by-n Buning uchun matritsalar m ≠ n ) teskari emas. Ammo, ba’zi hollarda bunday matritsa a ga ega bo’lishi mumkin chapga teskari yoki o’ng teskari. Agar A bu m-by-n va daraja ning A ga teng n ( n ≤ m ), keyin A chapga teskari, an n -by- m matritsa B shu kabi BA = Men_n . Agar A darajaga ega m ( m ≤ n ), keyin u teskari teskari, an n -by- m matritsa B shu kabi AB = Men_m .

Eng keng tarqalgan holat – bu matritsalar haqiqiy yoki murakkab raqamlar, bu ta’riflarning barchasi matritsalar uchun har qanday istalgan ustidan berilishi mumkin uzuk. Biroq, halqa komutativ bo’lgan taqdirda, kvadrat matritsaning teskari bo’lishi sharti shundaki, uning hal qiluvchi halqada qaytarilishi mumkin, bu umuman nolga teng bo’lmagan qat’iy talabdir. Kommutativ bo’lmagan halqa uchun odatiy determinant aniqlanmagan. Chapga teskari yoki o’ngga teskari bo’lish shartlari murakkabroq, chunki daraja tushunchasi halqalarda mavjud emas.

To’plami n × n matritsalarni ko’paytirish jarayoni bilan qaytariladigan matritsalar (va uzukdan yozuvlar) R) shakl guruh, umumiy chiziqli guruh daraja n, belgilangan G L n ( R ) < displaystyle GL_ (R)> . [1]

Mundarija

• 1 Xususiyatlari
  • 1.1 Matritsaning teskari teoremasi
  • 1.2 Boshqa xususiyatlar
  • 1.3 Uning yordamchisiga nisbatan
  • 1.4 Identifikatsiya matritsasiga nisbatan
  • 1.5 Zichlik
  • 3.1 Gaussni yo’q qilish
  • 3.2 Nyuton usuli
  • 3.3 Keyli-Xemilton usuli
  • 3.4 O’ziga xos kompozitsiya
  • 3.5 Xoleskiy parchalanishi
  • 3.6 Analitik echim
    • 3.6.1 2 × 2 matritsalarning teskari yo’nalishi
    • 3.6.2 3 × 3 matritsalarning teskari yo’nalishi
    • 3.6.3 4 × 4 matritsalarning teskari yo’nalishi
    • 6.1 Regressiya / eng kichik kvadratchalar
    • 6.2 Haqiqiy vaqtda simulyatsiyalarda matritsalar teskari
    • 6.3 MIMO simsiz aloqasidagi matritsalar teskari

    Xususiyatlari

    Matritsaning teskari teoremasi

    Ruxsat bering A kvadrat bo’lmoq n tomonidan n a dan ortiq matritsa maydon K (masalan, maydon R haqiqiy sonlar). Quyidagi iboralar tengdir (ya’ni, har qanday matritsa uchun ularning hammasi to’g’ri yoki hammasi yolg’on): [4]

    A qaytarib bo’lmaydigan, ya’ni A teskari, noaniq yoki noaniq. A bu qatorga teng uchun n-by-n identifikatsiya matritsasi Men_n. A bu ustunli ekvivalent uchun n-by-n identifikatsiya matritsasi Men_n. A bor n burilish pozitsiyalari. det A ≠ 0 . Umuman olganda, a dan ortiq kvadrat matritsa komutativ uzuk agar u bo’lsa, faqat qaytarib olinadi aniqlovchi a birlik o’sha uzukda. A to’liq darajaga ega; anavi, daraja A = n . Tenglama Balta = 0 faqat ahamiyatsiz echimga ega x = 0. The yadro ning A ahamiyatsiz, ya’ni element sifatida faqat nol vektorni o’z ichiga oladi, ker (A) = 0>. Tenglama Balta = b har biri uchun to’liq bitta echimga ega b yilda K n . Ning ustunlari A bor chiziqli mustaqil. Ning ustunlari A oraliq K n . Kol A = K n . Ning ustunlari A shakl asos ning K n . Lineer transformatsiyalarni xaritalash x ga Balta a bijection dan K n ga K n . Bor n-by-n matritsa B shu kabi AB = Men_n = BA . The ko’chirish A T qaytariladigan matritsa (shuning uchun qatorlar A bor chiziqli mustaqil, oraliq K n va shakllantiring asos ning K n ). 0 raqami an emas o’ziga xos qiymat ning A. Matritsa A ning chekli hosilasi sifatida ifodalanishi mumkin elementar matritsalar. Matritsa A chapga teskari (ya’ni mavjud) mavjud B shu kabi BA = Men ) yoki o’ng teskari (ya’ni mavjud a C shu kabi AC = Men ), bu holda ikkala chap va o’ng inversiyalar mavjud va B = C = A −1 .

    Boshqa xususiyatlar

    Bundan tashqari, quyidagi xususiyatlar qaytariladigan matritsa uchun amal qiladi A:

    Teskari matritsaning qatorlari V matritsaning U bor ortonormal ustunlariga U (va aksincha ustunlar uchun qatorlarni almashtirish). Buni ko’rish uchun, deylik UV = VU = I qatorlari qaerda V kabi belgilanadi v men T < displaystyle v_ ^ > va ning ustunlari U kabi siz j < displaystyle u_ > uchun 1 ≤ men , j ≤ n < displaystyle 1 leq i, j leq n>. Keyin aniq Evklidning ichki mahsuloti har qanday ikkitadan v men T siz j = δ men , j < displaystyle v_ ^ u_ = delta _ > . Ushbu xususiyat kvadrat matritsani teskari tuzishda ba’zi holatlarda foydali bo’lishi mumkin, bu erda ortogonal ustunlariga vektorlar (lekin ortonormal vektorlar shart emas) U ma’lum. Bunday holda, takroriylikni qo’llash mumkin Gram-Shmidt jarayoni teskari qatorlarni aniqlash uchun ushbu dastlabki to’plamga V.

    O’ziga teskari bo’lgan matritsa (ya’ni, matritsa) A shu kabi A = A −1 va A 2 = Men ), an deyiladi majburiy matritsa.

    Uning yordamchisiga nisbatan

    The yordamchi matritsaning A < displaystyle A>ning teskarisini topish uchun ishlatilishi mumkin A < displaystyle A>quyidagicha:

    Agar A < displaystyle A>bu n × n < displaystyle n times n>teskari matritsa, keyin

    Identifikatsiya matritsasiga nisbatan

    Matritsani ko’paytirishning assotsiativligidan kelib chiqadiki, agar

    uchun cheklangan kvadrat matritsalar A va B, keyin ham

    Zichlik

    Haqiqiy sonlar maydoni bo’yicha birlik n-by-n ning pastki qismi sifatida qaraladigan matritsalar R n×n , a null o’rnatilgan, ya’ni bor Lebesgue nolni o’lchash. Bu to’g’ri, chunki singular matritsalar ildizlarning ildizidir aniqlovchi funktsiya. Bu doimiy funktsiya, chunki u matritsa yozuvlarida polinom. Shunday qilib tilida o’lchov nazariyasi, deyarli barchasi n-by-n matritsalar teskari.

    Bundan tashqari, n-by-n qaytariladigan matritsalar a zich ochiq to’plam ichida topologik makon hammasidan n-by-n matritsalar. Teng ravishda, yagona matritsalar to’plami yopiq va hech qaerda zich oralig’ida n-by-n matritsalar.

    Amalda esa, o’zgarmas matritsalarga duch kelish mumkin. Va ichida raqamli hisob-kitoblar, qaytariladigan, ammo qaytarib bo’lmaydigan matritsaga yaqin bo’lgan matritsalar baribir muammoli bo’lishi mumkin; bunday matritsalar deyiladi yaroqsiz.

    Misollar

    Quyidagilarni ko’rib chiqing 2-by-2 matritsa:

    Invertatsiya qilinmaydigan yoki singular matritsaga misol sifatida matritsani ko’rib chiqing

    Ning determinanti B < displaystyle mathbf > 0 ga teng, bu matritsaning qaytarilmas bo’lishi uchun zarur va etarli shartdir.

    Matritsani teskari aylantirish usullari

    Gaussni yo’q qilish

    Gauss-Iordaniya yo’llanmasi bu algoritm yordamida berilgan matritsaning teskari ekanligini aniqlash va teskari tomonini topish mumkin. Shu bilan bir qatorda LU parchalanishi, teskari aylantirish osonroq bo’lgan yuqori va pastki uchburchak matritsalarni hosil qiladi.

    Nyuton usuli

    Umumlashtirish Nyuton usuli sifatida ishlatilgan multiplikativ teskari algoritm mos boshlang’ich urug’ini topish qulay bo’lsa, qulay bo’lishi mumkin:

    X k + 1 = 2 X k − X k A X k . < displaystyle X_ = 2X_ -X_ AX_ .>

    Viktor Pan va Jon Reyf boshlang’ich urug’ini yaratish usullarini o’z ichiga olgan ishlarni amalga oshirdilar. [6] [7] Bayt jurnali ularning yondashuvlaridan birini sarhisob qildi. [8]

    Nyuton usuli, yuqorida keltirilgan homotopiya uchun ishlab chiqarilgan ketma-ketlik kabi etarlicha o’zini tutadigan, tegishli matritsalarning oilalari bilan ishlashda ayniqsa foydalidir: ba’zida yangi teskari uchun taxminiylikni aniqlashtirish uchun yaxshi boshlang’ich nuqtasi deyarli mos keladigan oldingi matritsaning teskarisi bo’lishi mumkin. joriy matritsa, masalan, olishda ishlatiladigan teskari matritsalar juftligi matritsali kvadrat ildizlar Denman-Beavers iteratsiyasi bilan; har bir yangi matritsada takrorlashning bir nechta o’tishi kerak bo’lishi mumkin, agar ular bir-biriga etarlicha yaqin bo’lsa. Nyuton usuli Gauss-Jordan algoritmini “tegish” bilan tuzatish uchun ham foydalidir, bu kichik xatolar tufayli ifloslangan. nomukammal kompyuter arifmetikasi.

    Keyli-Xemilton usuli

    The Keyli-Gemilton teoremasi ning teskarisini beradi A < displaystyle A>det bilan ifodalanishi kerak ( A < displaystyle A>) ning izlari va kuchlari A < displaystyle A>: [9]

    s + ∑ l = 1 n − 1 l k l = n − 1. < displaystyle s + sum _ ^ lk_ = n-1.>

    A − 1 = 1 det ( A ) ∑ s = 1 n A s − 1 ( − 1 ) n − 1 ( n − s ) ! B n − s ( t 1 , t 2 , … , t n − s ) . < displaystyle mathbf ^ = < frac < det ( mathbf )>> sum _ ^ mathbf ^ < frac > > B_ (t_ , t_ , ldots, t_ ) .>

    O’ziga xos kompozitsiya

    Asosiy maqola: Matritsaning o’ziga xos tarkibi

    Agar matritsa A o’zgacha tuzilishi mumkin va agar uning hech bir o’ziga xos qiymati nolga teng bo’lmasa, u holda A teskari va teskari tomonidan berilgan

    Xoleskiy parchalanishi

    Asosiy maqola: Xoleskiy parchalanishi

    Agar matritsa A bu ijobiy aniq, keyin uning teskarisini quyidagicha olish mumkin

    qayerda L pastki uchburchakdir Xoleskiy parchalanishi ning Ava L * ning konjugat transpozitsiyasini bildiradi L.

    Analitik echim

    Asosiy maqola: Kramer qoidasi

    Transpozitsiyasini yozish kofaktorlar matritsasi, sifatida tanilgan yordamchi matritsa, shuningdek, teskari tomonni hisoblashning samarali usuli bo’lishi mumkin kichik matritsalar, ammo bu rekursiv usul katta matritsalar uchun samarasiz. Teskari tomonni aniqlash uchun kofaktorlar matritsasini hisoblaymiz:

    Shuning uchun; . uchun; . natijasida

    qayerda |A| bo’ladi aniqlovchi ning A, C bo’ladi kofaktorlar matritsasi va C T matritsani ifodalaydi ko’chirish.

    2 × 2 matritsalarning teskari yo’nalishi

    The kofaktor tenglamasi yuqorida sanab o’tilganlar uchun quyidagi natijani beradi 2 × 2 matritsalar. Ushbu matritsalarni teskari yo’naltirish quyidagicha amalga oshirilishi mumkin: [10]

    Bu mumkin, chunki 1/(reklama − miloddan avvalgi) ko’rib chiqilayotgan matritsaning determinantining o’zaro bog’liqligi va boshqa strategiya matritsa o’lchamlari uchun ham xuddi shu strategiyadan foydalanish mumkin.

    Keyli-Xemilton usuli beradi

    3 × 3 matritsalarning teskari yo’nalishi

    Hisoblash samaradorligi 3 × 3 matritsa inversiyasi tomonidan berilgan

    (bu erda skalar A matritsa bilan aralashmaslik kerak AAgar aniqlovchi nolga teng bo’lmasa, matritsa teskari bo’ladi, yuqoridagi o’ng tomonda vositachi matritsa elementlari bilan berilgan

    A = ( e men − f h ) , D. = − ( b men − v h ) , G = ( b f − v e ) , B = − ( d men − f g ) , E = ( a men − v g ) , H = − ( a f − v d ) , C = ( d h − e g ) , F = − ( a h − b g ) , Men = ( a e − b d ) . < displaystyle < begin A & = <> & (ei-fh), & quad & D & = <> & – (bi-ch), & quad & G & = <> & (bf-ce) ), B & = <> & – (di-fg), & quad & E & = <> & (ai-cg), & quad & H & = <> & – (af-cd), C & = < >& (dh-eg), & quad & F & = <> & – (ah-bg), & quad & I & = <> & (ae-bd). end >>

    Ning determinanti A ni qo’llash orqali hisoblash mumkin Sarrus hukmronligi quyidagicha:

    det ( A ) = a A + b B + v C . < displaystyle det ( mathbf ) = aA + bB + cC.>

    Keyli-Xemilton parchalanishi beradi

    det ( A ) = x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) . < displaystyle det ( mathbf ) = mathbf _ cdot ( mathbf _ times mathbf _ ).>

    Formulaning to’g’riligini o’zaro faoliyat va uchta mahsulotning xususiyatlaridan foydalangan holda va guruhlar uchun chap va o’ng teskari chiziqlar har doim mos tushishini tekshirish orqali tekshirish mumkin. Intuitiv ravishda, o’zaro faoliyat mahsulotlar tufayli har bir qator A − 1 < displaystyle mathbf ^ > ning mos kelmaydigan ikkita ustuniga ortogonaldir A < displaystyle mathbf > (ning diagonal bo’lmagan shartlarini keltirib chiqaradi Men = A − 1 A < displaystyle mathbf = mathbf ^ mathbf > nolga teng). Bo’linish

    det ( A ) = x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) < displaystyle det ( mathbf ) = mathbf _ cdot ( mathbf _ times mathbf _ )>

    1 = 1 x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) . < displaystyle 1 = < frac < mathbf > cdot ( mathbf _ times mathbf _ )>> mathbf > cdot ( mathbf _ times mathbf _ ).>

    4 × 4 matritsalarning teskari yo’nalishi

    Borayotgan o’lchov bilan, teskari uchun ifodalar A murakkablashmoq. Uchun n = 4 , Keyli-Xemilton usuli hanuzgacha boshqariladigan ifodaga olib keladi:

    To’siqni teskari aylantirish

    Matritsalar ham bo’lishi mumkin blokirovka bo’yicha teskari quyidagi analitik inversiya formulasidan foydalangan holda:

    qayerda A, B, C va D. bor matritsali pastki bloklar o’zboshimchalik bilan o’lchamdagi. (A to’rtburchak bo’lishi kerak, shunda uni teskari aylantirish mumkin. Bundan tashqari, A va D. − CA −1 B bema’ni bo’lishi kerak. [11] Ushbu strategiya, ayniqsa foydalidir, agar A diagonali va D. − CA −1 B (the Schur to’ldiruvchisi ning A) kichik matritsadir, chunki ular inversiyani talab qiladigan yagona matritsalardir.

    Ushbu uslub bir necha bor ixtiro qilingan va shu sababli Xans Bolts (1923), [ iqtibos kerak ] uni kimning inversiyasi uchun ishlatgan geodezik matritsalar va Tadeush Banachevich (1937), kim uni umumlashtirdi va uning to’g’riligini isbotladi.

    The nulllik teoremasi ning bekorligi aytadi A teskari matritsaning pastki o’ng qismidagi pastki blokning nolligiga teng va B teskari matritsaning yuqori o’ng qismidagi pastki blokning nullligiga teng.

    Tenglamaga olib kelgan teskari tartib (1) ishlaydigan matritsali blok operatsiyalarini bajargan C va D. birinchi. Buning o’rniga, agar A va B birinchi bo’lib operatsiya qilinadi va ta’minlanadi D. va A − BD −1 C bema’ni, [12] natija

    Tenglama tenglamalari (1) va (2) olib keladi

    An ning blokirovka qilingan teskari yo’nalishi sababli n × n matritsa ikkita yarim o’lchovli matritsani teskari yo’naltirishni va ikkala yarim o’lchovli matritsani 6 marta ko’paytirishni talab qiladi, buni ko’rsatish mumkin algoritmni ajratish va yutish matritsani teskari aylantirish uchun blokirovkali inversiyani ishlatadigan, ichki ishlatilgan matritsani ko’paytirish algoritmi bilan bir xil murakkablikda ishlaydi. [13] Mavjud matritsani ko’paytirish algoritmlari ning murakkabligi bilan O(n 2.3727 ) operatsiyalar, eng yaxshi tasdiqlangan pastki chegara esa Ω ( n 2 jurnal n ) . [14]

    Ushbu formulani o’ng yuqori blok matritsasi sezilarli darajada soddalashtiradi B < displaystyle B>nol matritsa. Ushbu formulalar matritsalar foydalidir A < displaystyle A>va D. < displaystyle D>nisbatan oddiy teskari formulalarga ega (yoki psevdo teskari yo’nalishlar bloklar hammasi kvadrat bo’lmaganda. Ushbu maxsus holatda, yuqoridagi to’liq umumiylikda ko’rsatilgan blok matritsasini inversiya formulasi bo’ladi

    Neyman seriyali

    Agar matritsa A xususiyatiga ega

    keyin A bema’ni va uning teskarisi a bilan ifodalanishi mumkin Neyman seriyasi: [15]

    Yig’indini qisqartirish natijasida “taxminiy” teskari holat hosil bo’ladi, bu esa a sifatida foydali bo’lishi mumkin konditsioner. Qisqartirilgan ketma-ketlikni tezlashtirishi mumkinligiga e’tibor bering, Neyman qatori a geometrik sum. Shunday qilib, u qondiradi

    Shuning uchun, faqat 2 L − 2 < displaystyle 2L-2>hisoblash uchun matritsani ko’paytirish kerak 2 L < displaystyle 2 ^ > summaning shartlari.

    Umuman olganda, agar A qaytariladigan matritsaning “yaqinida” X bu ma’noda

    keyin A ma’nosiz va uning teskari tomoni

    Agar u ham shunday bo’lsa A − X bor daraja 1 keyin bu soddalashtiradi

    p-adik yaqinlashish

    Ushbu bo’lim kengayishga muhtoj. Siz yordam berishingiz mumkin ( 2015 yil fevral )

    Agar A butun yoki ratsional koeffitsientli matritsa bo’lib, biz uning echimini izlaymiz o’zboshimchalik bilan aniqlik mantiqiy asoslar, keyin a p-adic yaqinlashtirish usuli aniq echimga aylanadi O ( n 4 jurnal 2 ⁡ n ) < displaystyle O (n ^ log ^ n)> , standartni nazarda tutgan holda O ( n 3 ) < displaystyle O (n ^ )> matritsani ko’paytirish qo’llaniladi. [16] Usul hal qilishga tayanadi n Dikson usuli orqali chiziqli tizimlar p-adik yaqinlashish (har birida O ( n 3 jurnal 2 ⁡ n ) < displaystyle O (n ^ log ^ n)> ) va o’zboshimchalik bilan aniq matritsali operatsiyalarga ixtisoslashgan dasturiy ta’minotda, masalan, IML-da mavjud. [17]

    O’zaro asosli vektorlar usuli

    Asosiy maqola: o’zaro asos

    Berilgan n × n < displaystyle n times n>kvadrat matritsa X = [ x men j ] < displaystyle mathbf = [x ^ ]> , 1 ≤ men , j ≤ n < displaystyle 1 leq i, j leq n>, bilan n < displaystyle n>qatorlari sifatida talqin qilingan n < displaystyle n>vektorlar x men = x men j e j < displaystyle mathbf _ = x ^ mathbf _ > (Eynshteyn yig’indisi taxmin qilingan) qaerda e j < displaystyle mathbf _ > standartdir ortonormal asos ning Evklid fazosi R n < displaystyle mathbb ^ > ( e men = e men , e men ⋅ e j = δ men j < displaystyle mathbf _ = mathbf ^ , mathbf _ cdot mathbf ^ = delta _ ^ > ), keyin foydalaning Klifford algebra (yoki Geometrik algebra ) biz o’zaro hisoblashamiz (ba’zan shunday deyiladi) ikkilamchi ) ustunli vektorlar x men = x j men e j = ( − 1 ) men − 1 ( x 1 ∧ ⋯ ∧ ( ) men ∧ ⋯ ∧ x n ) ⋅ ( x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x n ) − 1 < displaystyle mathbf ^ = x_ mathbf ^ = (- 1) ^ ( mathbf _ wedge cdots wedge () _ wedge cdots wedge mathbf _ ) cdot ( mathbf _ wedge mathbf _ wedge cdots wedge mathbf _ ) ^ > teskari matritsaning ustunlari sifatida X − 1 = [ x j men ] < displaystyle mathbf ^ = [x_ ]> . E’tibor bering, joy ” ( ) men < displaystyle () _ > “buni bildiradi” x men < displaystyle mathbf _ > “uchun yuqoridagi ifodada ushbu joydan olib tashlangan x men < displaystyle mathbf ^ > . Keyin bizda bor X X − 1 = [ x men ⋅ x j ] = [ δ men j ] = Men n < displaystyle mathbf mathbf ^ = [ mathbf _ cdot mathbf ^ ] = [ delta _ ^ ] = mathbf _ > , qayerda δ men j < displaystyle delta _ ^ > bo’ladi Kronekker deltasi. Bizda ham bor X − 1 X = [ ( e men ⋅ x k ) ( e j ⋅ x k ) ] = [ e men ⋅ e j ] = [ δ men j ] = Men n < displaystyle mathbf ^ mathbf = [( mathbf _ cdot mathbf ^ ) ( mathbf ^ < j>cdot mathbf _ )] = [ mathbf _ cdot mathbf ^ ] = [ delta _ ^ ] = mathbf _ > , talabga binoan. Agar vektorlar bo’lsa x men < displaystyle mathbf _ > keyin mustaqil ravishda chiziqli emas ( x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x n ) = 0 < displaystyle ( mathbf _ wedge mathbf _ wedge cdots wedge mathbf _ ) = 0> va matritsa X < displaystyle mathbf > teskari emas (teskari emas).

    Matritsaning teskari hosilasi

    Teskari matritsa deylik A parametrga bog’liq t. Keyin teskari hosilasi A munosabat bilan t tomonidan berilgan [18]

    Ning teskari hosilasi uchun yuqoridagi ifodani olish uchun A, matritsaning teskari ta’rifini farqlash mumkin A − 1 A = Men < displaystyle mathbf ^ mathbf = mathbf > va keyin teskari tomon uchun eching A:

    Xuddi shunday, agar ε < displaystyle varepsilon>u holda bu kichik raqam

    Umuman olganda, agar

    Ijobiy tamsayı berilgan n < displaystyle n>,

    d A n d t = ∑ men = 1 n A men − 1 d A d t A n − men , d A − n d t = − ∑ men = 1 n A − men d A d t A − ( n + 1 − men ) . < displaystyle < begin < frac < mathrm mathbf ^ > < mathrm t>> & = sum _ ^ mathbf ^ < frac < mathrm mathbf > < mathrm t>> mathbf ^ , < frac < mathrm mathbf ^ > < mathrm t>> & = – sum _ ^ mathbf ^ < frac < mathrm mathbf > < mathrm t>> mathbf ^ . end >>

    ( A + ε X ) n = A n + ε ∑ men = 1 n A men − 1 X A n − men + O ( ε 2 ) , ( A + ε X ) − n = A − n − ε ∑ men = 1 n A − men X A − ( n + 1 − men ) + O ( ε 2 ) . < displaystyle < begin ( mathbf + varepsilon mathbf ) ^ & = mathbf ^ + varepsilon sum _ ^ mathbf ^ mathbf mathbf ^ + < mathcal > ( varepsilon ^ ), ( mathbf + varepsilon mathbf ) ^ & = mathbf ^ – varepsilon sum _ ^ mathbf ^ mathbf mathbf ^ + < mathcal > ( varepsilon ^ ). end >>

    Umumlashtirilgan teskari

    Teskari matritsalarning ba’zi xususiyatlari bilan bo’lishiladi umumlashtirilgan inversiyalar (masalan, Mur-Penrose teskari ), bu har qanday kishi uchun belgilanishi mumkin m-by-n matritsa.

    Ilovalar

    Ko’pgina amaliy dasturlar uchun bu shunday emas a ni echish uchun matritsani aylantirish uchun zarur chiziqli tenglamalar tizimi; ammo, noyob echim uchun, u bu ishtirok etgan matritsaning teskari bo’lishi kerak.

    Kabi parchalanish texnikasi LU parchalanishi inversiyadan ancha tezroq va chiziqli tizimlarning maxsus sinflari uchun turli xil tezkor algoritmlar ham ishlab chiqilgan.

    Regressiya / eng kichik kvadratchalar

    Noma’lumlar vektorini baholash uchun aniq teskari shart emasligiga qaramay, teskari matritsaning diagonali (noma’lumlar vektorining orqa kovaryans matritsasi) da topilgan ularning aniqligini baholashning eng oson usuli. Biroq, matritsaning teskari diagonal yozuvlarini hisoblashning tezroq algoritmlari ko’p hollarda ma’lum. [19]

    Haqiqiy vaqtda simulyatsiyalarda matritsalar teskari

    Matritsaning inversiyasi muhim rol o’ynaydi kompyuter grafikasi, xususan 3D grafika renderlash va 3D simulyatsiyalar. Bunga ekranlardan dunyoga misol keltirish mumkin nurlarni quyish, ob’ektni dunyodan subspace-ga o’zgartirishi va jismoniy simulyatsiyalar.

    MIMO simsiz aloqasidagi matritsalar teskari

    Matritsaning inversiyasi ham muhim rol o’ynaydi MIMO Simsiz aloqada (Multiple Input, Multiple-Output) texnologiyasi. MIMO tizimi quyidagilardan iborat N uzatish va M antennalarni qabul qilish. Xuddi shu chastota diapazonini egallagan noyob signallar orqali yuboriladi N antennalarni uzatish va qabul qilish M antennalarni qabul qilish. Har bir qabul qiluvchi antennaga kelgan signal, ning chiziqli kombinatsiyasi bo’ladi N an hosil qiluvchi uzatiladigan signallar N × M uzatish matritsasi H. Bu matritsa uchun juda muhimdir H qabul qiluvchining uzatilgan ma’lumotni aniqlay olishi uchun teskari bo’lishi.

    Shuningdek qarang

    • Binomial teskari teorema
    • LU parchalanishi
    • Matritsaning ajralishi
    • Matritsa kvadrat ildizi
    • Kichik (chiziqli algebra)
    • Matritsaning qisman teskari tomoni
    • Pseudoinverse
    • Yagona qiymat dekompozitsiyasi
    • Woodbury matritsasi identifikatori

    Adabiyotlar

    1. ^ ab“Algebra belgilarining to’liq ro’yxati”. Matematik kassa. 2020-03-25 . Olingan 2020-09-08 .
    2. ^“O’zgaruvchan matritsalar”. www.sosmath.com . Olingan 2020-09-08 .
    3. ^ Vayshteyn, Erik V. “Matritsa teskari”. mathworld.wolfram.com . Olingan 2020-09-08 .
    4. ^ Vayshteyn, Erik V. “O’zgaruvchan matritsa teoremasi”. mathworld.wolfram.com . Olingan 2020-09-08 .
    5. ^ Xorn, Rojer A.; Jonson, Charlz R. (1985). Matritsa tahlili. Kembrij universiteti matbuoti. p. 14. ISBN978-0-521-38632-6 .
    6. .
    7. ^ Pan, Viktor; Reif, Jon (1985), Chiziqli tizimlarning samarali parallel echimi, Hisoblash nazariyasi bo’yicha 17-yillik ACM simpoziumi materiallari, Providents: ACM
    8. ^ Pan, Viktor; Reif, Jon (1985), Garvard universiteti hisoblash texnologiyalari bo’yicha tadqiqot markazi hisoboti TR-02-85, Kembrij, MA: Aiken hisoblash laboratoriyasi
    9. ^ “Katta matritsalarning teskari yo’nalishi”. Bayt jurnali. 11 (4): 181-190. 1986 yil aprel.
    10. ^ Dalilni B ilovasida topish mumkin Kondratyuk, L. A .; Krivoruchenko, M. I. (1992). “SU (2) rang guruhidagi supero’tkazuvchi kvark moddasi”. Zeitschrift für Physik A. 344: 99–115. doi:10.1007 / BF01291027.
    11. ^ Strang, Gilbert (2003). Chiziqli algebraga kirish (3-nashr). SIAM. p. 71. ISBN978-0-9614088-9-3 .
    12. , 2-bob, 71-bet
    13. ^ Bernshteyn, Dennis (2005). Matritsa matematikasi. Prinston universiteti matbuoti. p. 44. ISBN978-0-691-11802-4 .
    14. ^ Bernshteyn, Dennis (2005). Matritsa matematikasi. Prinston universiteti matbuoti. p. 45. ISBN978-0-691-11802-4 .
    15. ^ T. H. Kormen, C. E. Leyzerson, R. L. Rivest, S.Steyn, Algoritmlarga kirish, 3-nashr, MIT Press, Kembrij, MA, 2009, §28.2.
    16. ^Ran Raz. Matritsa mahsulotining murakkabligi to’g’risida. Hisoblash nazariyasi bo’yicha o’ttiz to’rtinchi ACM simpoziumi materiallarida. ACM Press, 2002 yil. doi:10.1145/509907.509932.
    17. ^ Styuart, Gilbert (1998). Matritsa algoritmlari: asosiy ajralishlar. SIAM. p. 55. ISBN978-0-89871-414-2 .
    18. ^ Xaramoto, X .; Matsumoto, M. (2009). “Butun sonli matritsalarni teskari hisoblash uchun p-adic algoritmi”. Hisoblash va amaliy matematika jurnali. 225: 320–322. doi: 10.1016 / j.cam.2008.07.044 .
    19. ^“IML – Butun sonli matritsa kutubxonasi”. cs.uwaterloo.ca . Olingan 14 aprel 2018 .
    20. ^ Magnus, Jan R.; Noydker, Xaynts (1999). Matritsali differentsial hisoblash: Statistika va Ekonometriyadagi dasturlar bilan (Qayta ko’rib chiqilgan tahrir). Nyu-York: John Wiley & Sons. 151-152 betlar. ISBN0-471-98633-X .
    21. ^ Lin, Lin; Lu, Tszianfen; Ying, Lexing; Avtomobil, Roberto; E, Vaynan (2009). “Metall tizimlarning elektron strukturasini tahlil qilishda qo’llaniladigan teskari matritsaning diagonalini olishning tez algoritmi”. Matematik fanlarda aloqa. 7 (3): 755–777. doi: 10.4310 / CMS.2009.v7.n3.a12 .

    Qo’shimcha o’qish

    • “Matritsaning teskari yo’nalishi”, Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
    • Kormen, Tomas H.; Leyzerson, Charlz E.; Rivest, Ronald L.; Shteyn, Klifford (2001) [1990]. “28.4: teskari matritsalar”. Algoritmlarga kirish (2-nashr). MIT Press va McGraw-Hill. 755-760 betlar. ISBN0-262-03293-7 .
    • Bernshteyn, Dennis S. (2009). Matritsa matematikasi: nazariya, faktlar va formulalar (2-nashr). Prinston universiteti matbuoti – orqali Google Books.
    • Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Maykl Siskind (2012 yil 15-noyabr). “Matritsa bo’yicha oshxona kitobi” (PDF) . 17-23 betlar.

    Tashqi havolalar

    Ushbu maqola foydalanish tashqi havolalar Vikipediya qoidalari yoki ko’rsatmalariga amal qilmasligi mumkin. Iltimos ushbu maqolani yaxshilang olib tashlash orqali haddan tashqari yoki noo’rin tashqi havolalar va kerak bo’lganda foydali havolalarni aylantirish izohlarga havolalar. ( 2015 yil iyun ) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

    • Sanderson, Grant (2016 yil 15-avgust). “Teskari matritsalar, ustunlar maydoni va bo’sh bo’shliq”. Chiziqli algebra mohiyati – orqali YouTube.
    • Strang, Gilbert. “Teskari matritsalar bo’yicha chiziqli algebra ma’ruzasi”. MIT OpenCourseWare.
    • Matritsa kalkulyatorining ramziy teskarisi ko’rsatilgan qadamlar bilan
    • Mur-Penrose teskari matritsasi
    • Skalar
    • Vektor
    • Vektor maydoni
    • Skalyar ko’paytirish
    • Vektorli proektsiya
    • Lineer span
    • Lineer xarita
    • Lineer proektsiya
    • Lineer mustaqillik
    • Lineer birikma
    • Asos
    • Asosning o’zgarishi
    • Qator va ustunli vektorlar
    • Qator va ustun oraliqlari
    • Kernel
    • O’ziga xos qiymatlar va xususiy vektorlar
    • Transpoze
    • Lineer tenglamalar
    • Ortogonallik
    • Nuqta mahsulot
    • Ichki mahsulot maydoni
    • Tashqi mahsulot
    • Gram-Shmidt jarayoni
    • Aniqlovchi
    • O’zaro faoliyat mahsulot
    • Uch mahsulot
    • Etti o’lchovli o’zaro faoliyat mahsulot
    • Geometrik algebra
    • Tashqi algebra
    • Bivektor
    • Multivektor
    • Tensor
    • Outermorfizm
    • Ikki tomonlama
    • To’g’ridan-to’g’ri summa
    • Funktsiya maydoni
    • Miqdor
    • Subspace
    • Tensor mahsuloti
    • Suzuvchi nuqta
    • Raqamli barqarorlik
    • Asosiy chiziqli algebra kichik dasturlari (BLAS)
    • Matritsa siyrak
    • Chiziqli algebra kutubxonalarini taqqoslash

    Matritsani ko’paytirish – Matrix multiplication

    Matritsani ko’paytirish uchun birinchi matritsadagi ustunlar soni ikkinchi matritsadagi qatorlar soniga teng bo’lishi kerak. Natija matritsasi birinchi qatorlar soniga va ikkinchi matritsaning ustunlar soniga ega.

    Yilda matematika, xususan chiziqli algebra, matritsani ko’paytirish a ikkilik operatsiya ishlab chiqaradigan matritsa ikkita matritsadan. Matritsani ko’paytirish uchun birinchi matritsadagi ustunlar soni ikkinchi matritsadagi qatorlar soniga teng bo’lishi kerak. Natijada ma’lum bo’lgan matritsa matritsa mahsuloti, birinchi satrlar soniga va ikkinchi matritsaning ustunlar soniga ega. Matritsalar mahsuloti A < displaystyle A>va B < displaystyle B>keyin shunchaki sifatida belgilanadi A B < displaystyle AB>. [1] [2]

    Matritsani ko’paytirish birinchi marta frantsuz matematikasi tomonidan tasvirlangan Jak Filipp Mari Binet 1812 yilda, [3] vakili qilish tarkibi ning chiziqli xaritalar matritsalar bilan ifodalangan. Matritsani ko’paytirish, shuning uchun chiziqli algebra va shunga o’xshash matematikaning ko’plab sohalarida ko’plab qo’llanmalar mavjud amaliy matematika, statistika, fizika, iqtisodiyot va muhandislik. [4] [5] Matritsa mahsulotlarini hisoblash – bu chiziqli algebraning barcha hisoblash dasturlarida markaziy operatsiya.

    Mundarija

    • 1 Notation
    • 2 Ta’rif
      • 2.1 Illyustratsiya
      • 3.1 Lineer xaritalar
      • 3.2 Chiziqli tenglamalar tizimi
      • 3.3 Nuqta mahsulot, bilinear shakl va ichki mahsulot
      • 4.1 Kommutativlik
      • 4.2 Tarqatish
      • 4.3 Skalyar bilan mahsulot
      • 4.4 Transpoze
      • 4.5 Murakkab konjugat
      • 4.6 Assotsiativlik
        • 4.6.1 Murakkablik assotsiativ emas
        • 4.6.2 O’xshashlikka murojaat qilish
        • 5.1 Matritsaning kuchlari
        • 7.1 Bilan bog’liq murakkabliklar
        • 7.2 Matritsaning inversiyasi, determinant va Gauss eliminatsiyasi

        Notation

        Ushbu maqolada quyidagi notatsion konvensiyalar qo’llaniladi: matritsalar qalin harflar bilan bosh harflar bilan ifodalanadi, masalan. A ; vektorlar kichik harf bilan, masalan. a ; va vektorlar va matritsalar yozuvlari kursiv (chunki ular maydon raqamlari), masalan. A va a . Indeks yozuvlari ko’pincha ta’riflarni ifodalashning eng aniq usuli hisoblanadi va adabiyotda standart sifatida qo’llaniladi. The men, j matritsaning kiritilishi A bilan ko’rsatilgan (A)_ij , A_ij yoki a_ij , matritsalar to’plamidagi raqamli yorliq (matritsa yozuvlari emas) faqat obuna bo’lgan, masalan. A₁, A₂ , va boshqalar.

        Ta’rif

        Agar A bu m × n matritsa va B bu n × p matritsa,

        The matritsa mahsuloti C = AB (ko’paytirish alomatlari yoki nuqtalarisiz belgilanadi) m × p matritsa [6] [7] [8] [9]

        C = ( v 11 v 12 ⋯ v 1 p v 21 v 22 ⋯ v 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v m 1 v m 2 ⋯ v m p ) < displaystyle mathbf = < begin c_ & c_ & cdots & c_ c_ & c_ & cdots & c_ vdots & vdots & ddots & vdots c_ & c_ & cdots & c_ end >>

        v men j = a men 1 b 1 j + a men 2 b 2 j + ⋯ + a men n b n j = ∑ k = 1 n a men k b k j , < displaystyle c_ = a_ b_ + a_ b_ + cdots + a_ b_ = sum _ ^ a_ b_ ,>

        uchun men = 1, . m va j = 1, . p .

        Ya’ni kirish v men j < displaystyle c_ > mahsulotning yozuvlarini muddatiga ko’paytirish yo’li bilan olinadi men uchinchi qator A va j ning ustuni B va bularni jamlash n mahsulotlar. Boshqa so’zlar bilan aytganda, v men j < displaystyle c_ > bo’ladi nuqta mahsuloti ning men uchinchi qator A va j ning ustuni B . [1]

        Shuning uchun, AB sifatida ham yozilishi mumkin

        C = ( a 11 b 11 + ⋯ + a 1 n b n 1 a 11 b 12 + ⋯ + a 1 n b n 2 ⋯ a 11 b 1 p + ⋯ + a 1 n b n p a 21 b 11 + ⋯ + a 2 n b n 1 a 21 b 12 + ⋯ + a 2 n b n 2 ⋯ a 21 b 1 p + ⋯ + a 2 n b n p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 b 11 + ⋯ + a m n b n 1 a m 1 b 12 + ⋯ + a m n b n 2 ⋯ a m 1 b 1 p + ⋯ + a m n b n p ) < displaystyle mathbf = < begin a_ b_ + cdots + a_ b_ & a_ b_ + cdots + a_ b_ & cdots & a_ b_ + cdots + a_ b_ a_ b_ + cdots + a_ b_ & a_ b_ + cdots + a_ b_ & cdots & a_ b_ + cdots + a_ b_ vdots & vdots & ddots & vdots a_ b_ + cdots + a_ b_ & a_ b_ + cdots + a_ b_ & cdots & a_ b_ + cdots + a_ b_ end >>

        Shunday qilib mahsulot AB agar ustunlar soni va faqat agar aniqlansa A qatorlar soniga teng B , [2] Ushbu holatda n .

        Ko’pgina stsenariylarda yozuvlar raqamlardir, ammo ular har qanday bo’lishi mumkin matematik ob’ektlar buning uchun qo’shimcha va ko’paytma aniqlanadi, ya’ni assotsiativ va shunga o’xshash qo’shimcha kommutativ va ko’paytma tarqatuvchi qo’shimchaga nisbatan. Xususan, yozuvlar matritsalarning o’zi bo’lishi mumkin (qarang blokli matritsa ).

        Illyustratsiya

        O’ngdagi rasm diagrammada ikkita matritsaning hosilasini aks ettiradi A va B , mahsulot matritsasidagi har bir kesishma qatorga qanday mos kelishini ko’rsatib beradi A va ning ustuni B .

        [ a 11 a 12 ⋅ ⋅ a 31 a 32 ⋅ ⋅ ] 4 × 2 matritsa [ ⋅ b 12 b 13 ⋅ b 22 b 23 ] 2 × 3 matritsa = [ ⋅ v 12 v 13 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ v 32 v 33 ⋅ ⋅ ⋅ ] 4 × 3 matritsa < displaystyle < overset >> < begin > & > cdot & cdot > & > cdot & cdot end >> < overset >> < begin cdot & > & > cdot & > & > end >> = < overset >> < begin cdot & c_ & c_ cdot & cdot & cdot cdot & c_ & c_ cdot & cdot & cdot end >>>

        Doira bilan belgilangan chorrahalardagi qiymatlar:

        Asosiy dasturlar

        Tarixiy jihatdan, hisob-kitoblarni osonlashtirish va aniqlashtirish uchun matritsalarni ko’paytirish joriy etilgan chiziqli algebra. Matritsalarni ko’paytirish va chiziqli algebra o’rtasidagi bu kuchli bog’liqlik barcha matematikalarda, shuningdek, asosiy bo’lib qoladi fizika, muhandislik va Kompyuter fanlari.

        Lineer xaritalar

        Agar a vektor maydoni cheklangan asos, uning vektorlari har biri noyob sonli bilan ifodalanadi ketma-ketlik deb nomlangan skalar koordinata vektori, uning elementlari koordinatalar vektor asosida. Ushbu koordinata vektorlari boshqa vektor makonini hosil qiladi, ya’ni izomorfik asl vektor maydoniga. Koordinata vektori odatda a shaklida tashkil etilgan ustunli matritsa (shuningdek, deyiladi ustunli vektor), bu faqat bitta ustunli matritsa. Shunday qilib, ustunli vektor ham koordinatali vektorni, ham asl vektor makonining vektorini anglatadi.

        A chiziqli xarita A vektor fazasidan n vektorli bo’shliqqa m ustunli vektorni xaritaga tushiradi

        y = A ( x ) = ( a 11 x 1 + ⋯ + a 1 n x n a 21 x 1 + ⋯ + a 2 n x n ⋮ a m 1 x 1 + ⋯ + a m n x n ) . < displaystyle mathbf = A ( mathbf ) = < begin a_ x_ + cdots + a_ x_ a_ x_ + cdots + a_ x_ vdots a_ x_ + cdots + a_ x_ end >.>

        Chiziqli xarita A shunday qilib matritsa bilan belgilanadi

        va ustunli vektorni xaritada aks ettiradi x < displaystyle mathbf > matritsa mahsulotiga

        Agar B oldingi vektorli bo’shliqdan olingan yana bir chiziqli xarita m , o’lchovning vektor maydoniga p , u a bilan ifodalanadi p × m < displaystyle p times m>matritsa B . < displaystyle mathbf .> To’g’ridan to’g’ri hisoblash shuni ko’rsatadiki, ning matritsasi kompozit xarita B ∘ A < displaystyle B circ A>matritsa mahsulotidir B A . < displaystyle mathbf .> Umumiy formula ( B ∘ A ) ( x ) = B ( A ( x ) ) < displaystyle (B circ A) ( mathbf ) = B (A ( mathbf ))> ) funktsiya tarkibini belgilaydigan bu erda matritsa mahsulotining assotsiativligining o’ziga xos holati sifatida berilgan (qarang § Assotsiativlik quyida):

        ( B A ) x = B ( A x ) = B A x . < displaystyle ( mathbf ) mathbf = mathbf ( mathbf ) = mathbf .>

        Chiziqli tenglamalar tizimi

        a 11 x 1 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + ⋯ + a m n x n = b m . < displaystyle < begin a_ x_ + cdots + a_ x_ = b_ a_ x_ + cdots + a_ < 2n>x_ = b_ vdots a_ x_ + cdots + a_ x_ = b_ end >.>

        Yuqoridagi kabi yozuvlardan foydalanib, bunday tizim bitta matritsaga tengdir tenglama

        Nuqta mahsulot, bilinear shakl va ichki mahsulot

        The nuqta mahsuloti ikkita ustunli vektorning matritsasi ko’paytmasi

        qayerda x T < displaystyle mathbf ^ < mathsf >> bo’ladi qator vektori tomonidan olingan transpozitsiya x < displaystyle mathbf > va natijada olingan 1 × 1 matritsa o’ziga xos yozuv bilan aniqlanadi.

        Umuman olganda, har qanday bilinear shakl cheklangan o’lchovning vektor maydoni ustida matritsa hosilasi sifatida ifodalanishi mumkin

        va har qanday ichki mahsulot sifatida ifodalanishi mumkin

        qayerda x † < displaystyle mathbf ^ < dagger>> belgisini bildiradi konjugat transpozitsiyasi ning x < displaystyle mathbf > (transpozitning konjugati yoki konjugatning ekvivalenti bilan transpozitsiyasi).

        Umumiy xususiyatlar

        Matritsani ko’paytirish odatdagidek ba’zi xususiyatlarga ega ko’paytirish. Biroq, birinchi omil ustunlari soni ikkinchi omil qatorlari sonidan farq qiladigan bo’lsa, matritsani ko’paytirish aniqlanmaydi va u kommutativ bo’lmagan, [10] omillar tartibini o’zgartirgandan keyin mahsulot aniq bo’lib qolganda ham. [11] [12]

        Kommutativlik

        ( 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 ) = ( 1 0 0 0 ) , < displaystyle < begin 0 & 1 0 & 0 end > < begin 0 & 0 1 & 0 end > = < begin 1 & 0 0 & 0 end >,>

        ( 0 0 1 0 ) ( 0 1 0 0 ) = ( 0 0 0 1 ) . < displaystyle < begin 0 & 0 1 & 0 end > < begin 0 & 1 0 & 0 end > = < begin 0 & 0 0 & 1 end >.>

        Kommutativlik yuzaga keladigan maxsus holatlardan biri bu D. va E ikkita (kvadrat) diagonali matritsalar (bir xil o’lchamdagi); keyin DE = ED . [10] Shunga qaramay, agar matritsalar maydon emas, balki umumiy halqa ustida bo’lsa, unda ushlab turish uchun har birida tegishli yozuvlar bir-biri bilan harakatlanishi kerak.

        Tarqatish

        Matritsa mahsuloti tarqatuvchi munosabat bilan matritsa qo’shilishi. Ya’ni, agar A, B, C, D. tegishli o’lchamdagi matritsalardir m × n , n × p , n × p va p × q , bittasida (chap tarqatish)

        va (to’g’ri tarqatish)

        ( B + C ) D. = B D. + C D. . < displaystyle ( mathbf + mathbf ) mathbf = mathbf + mathbf .> [10]

        Bu koeffitsientlarning taqsimlanishidan kelib chiqadi

        ∑ k a men k ( b k j + v k j ) = ∑ k a men k b k j + ∑ k a men k v k j < displaystyle sum _ a_ (b_ + c_ ) = sum _ a_ b_ + sum _ a_ c_ > ∑ k ( b men k + v men k ) d k j = ∑ k b men k d k j + ∑ k v men k d k j . < displaystyle sum _ (b_ + c_ ) d_ = sum _ b_ d_ + sum _ c_ d_ .>

        Skalyar bilan mahsulot

        Agar mahsulot bo’lsa A B < displaystyle mathbf > belgilanadi (ya’ni ustunlar soni A qatorlari soniga teng B ), keyin

        Agar skalar komutativ xususiyatga ega bo’lsa, unda barcha to’rt matritsa tengdir. Umuman olganda, agar to’rttasi teng bo’lsa v ga tegishli markaz a uzuk matritsalarning yozuvlarini o’z ichiga olgan, chunki bu holda, vX = Xv barcha matritsalar uchun X .

        Ushbu xususiyatlar bilinmaslik skalar mahsuloti:

        v ( ∑ k a men k b k j ) = ∑ k ( v a men k ) b k j < displaystyle c left ( sum _ a_ b_ right) = sum _ (ca_ ) b_ > ( ∑ k a men k b k j ) v = ∑ k a men k ( b k j v ) . < displaystyle left ( sum _ a_ b_ right) c = sum _ a_ (b_ c).>

        Transpoze

        Agar skalarlarda komutativ mulk, ko’chirish matritsalar mahsuloti, teskari tartibda, omillar transpozitsiyasining mahsulotidir. Anavi

        qayerda T transpozitsiyani, ya’ni qatorlar va ustunlar almashinuvini bildiradi.

        Ushbu identifikator nostandart yozuvlar uchun amal qilmaydi, chunki yozuvlar orasidagi tartib A va B matritsa mahsulotining ta’rifini kengaytirganda teskari bo’ladi.

        Murakkab konjugat

        Agar A va B bor murakkab yozuvlar, keyin

        qayerda * kirishni oqilona anglatadi murakkab konjugat matritsaning

        Bu matritsa mahsulotining ta’rifiga qo’shilishning konjugati summandlarning konjugatlari yig’indisi va mahsulotning konjugati omillarning konjugatlari mahsuloti ekanligi faktini qo’llashdan kelib chiqadi.

        Transpozitsiya yozuvlar indekslari bo’yicha ishlaydi, konjugatsiya esa yozuvlarning o’ziga mustaqil ravishda ta’sir qiladi. Natijada, agar bo’lsa A va B murakkab yozuvlar mavjud, bittasi bor

        qayerda † belgisini bildiradi konjugat transpozitsiyasi (transpozitning konjugati yoki konjugatning ekvivalenti bilan transpozitsiyasi).

        Assotsiativlik

        Uchta matritsa berilgan A, B va C , mahsulotlar (AB)C va A(Miloddan avvalgi) ning ustunlari soni aniqlangandagina aniqlanadi A qatorlari soniga teng B va ustunlar soni B qatorlari soniga teng C (xususan, agar mahsulotlardan biri aniqlangan bo’lsa, ikkinchisi ham aniqlanadi). Bunday holda, bitta assotsiativ mulk

        Har qanday assotsiativ operatsiyaga kelsak, bu qavslarni chiqarib tashlashga va yuqoridagi mahsulotlarni shunday yozishga imkon beradi A B C . < displaystyle mathbf .>

        Bu o’lchovlar mos kelishi sharti bilan har qanday miqdordagi matritsaning mahsulotiga tabiiy ravishda tarqaladi. Ya’ni, agar A₁, A₂, . A_n ning ustunlari soni shunday matritsalardir A_men qatorlari soniga teng A_{men + 1} uchun men = 1, . n – 1 , keyin mahsulot

        belgilanadi va bog’liq emas ko’paytmalarning tartibi, agar matritsalar tartibi aniq saqlansa.

        Ushbu xususiyatlar to’g’ridan-to’g’ri, ammo murakkab tomonidan isbotlanishi mumkin yig’ish manipulyatsiya. Ushbu natija, shuningdek, matritsalarni namoyish etishidan kelib chiqadi chiziqli xaritalar. Shuning uchun matritsalarning assotsiativ xususiyati shunchaki ning assotsiativ xususiyatining o’ziga xos holatidir funktsiya tarkibi.

        Murakkablik assotsiativ emas

        Matritsa mahsulotlarining ketma-ketligi natijasi bog’liq emas ishlash tartibi (matritsalar tartibi o’zgartirilmasa), the hisoblash murakkabligi ushbu buyurtmaga keskin bog’liq bo’lishi mumkin.

        Masalan, agar A, B va C tegishli o’lchamdagi matritsalardir 10×30, 30×5, 5×60 , hisoblash (AB)C ehtiyojlar 10×30×5 + 10×5×60 = 4,500 hisoblash paytida ko’paytmalar A(Miloddan avvalgi) ehtiyojlar 30×5×60 + 10×30×60 = 27,000 ko’paytirish.

        Algoritmlar mahsulotlarning eng yaxshi tartibini tanlash uchun mo’ljallangan, qarang Matritsa zanjirini ko’paytirish. Raqam qachon n matritsalarning ko’payishi, eng yaxshi tartibni tanlashning murakkabligi borligi ko’rsatilgan O ( n jurnal ⁡ n ) .

        O’xshashlikka murojaat qilish

        O’xshashlik o’zgarishi mahsulotni mahsulot bilan taqqoslaydi, ya’ni

        Aslida, bunga ega

        Kvadrat matritsalar

        Belgilaylik M n ( R ) < displaystyle < mathcal > _ (R)> to’plami n×n kvadrat matritsalar a yozuvlari bilan uzuk R , bu amalda ko’pincha a maydon.

        Yilda M n ( R ) < displaystyle < mathcal > _ (R)> , mahsulot har bir juft matritsa uchun aniqlanadi. Bu qiladi M n ( R ) < displaystyle < mathcal > _ (R)> a uzuk, ega bo’lgan identifikatsiya matritsasi Men kabi hisobga olish elementi (diagonali yozuvlari 1 ga teng bo’lgan matritsa va boshqa yozuvlar 0 ga teng). Ushbu uzuk ham assotsiativ R -algebra.

        Agar n > 1 , ko’p matritsalarda a yo’q multiplikativ teskari. Masalan, qator (yoki ustun) ning barcha yozuvlari 0 ga teng bo’lgan matritsa teskari emas. Agar u mavjud bo’lsa, matritsaning teskari tomoni A bilan belgilanadi A −1 , va shunday qilib tekshiradi

        A A − 1 = A − 1 A = Men . < displaystyle mathbf mathbf ^ = mathbf ^ mathbf = mathbf .>

        Teskari tomonga ega bo’lgan matritsa an qaytariladigan matritsa. Aks holda, bu a yagona matritsa.

        Matritsalar ko’paytmasi har bir omil teskari bo’lsa, qaytarib olinadi. Bunday holda, biri bor

        Qachon R bu kommutativ, va, ayniqsa, bu maydon bo’lsa, the aniqlovchi mahsulotning aniqlovchining hosilasi. Determinantlar skalar va skalerlar qatnovi bo’lganligi sababli, bitta shunday bo’ladi

        det ( A B ) = det ( B A ) = det ( A ) det ( B ) . < displaystyle det ( mathbf ) = det ( mathbf ) = det ( mathbf ) det ( mathbf ).>

        Boshqa matritsa invariantlar mahsulotlar bilan yaxshi munosabatda bo’lmang. Shunga qaramay, agar R o’zgaruvchan, A B < displaystyle mathbf > va B A < displaystyle mathbf > bir xil narsaga ega iz, xuddi shu xarakterli polinom va xuddi shunday o’zgacha qiymatlar bir xil ko’paytmalar bilan. Ammo, agar xususiy vektorlar umuman boshqacha bo’lsa A B ≠ B A . < displaystyle mathbf neq mathbf .>

        Matritsaning kuchlari

        Kvadrat matritsani istalganiga ko’tarish mumkin manfiy bo’lmagan butun quvvat oddiy raqamlar singari uni o’z-o’zidan ko’paytirib. Anavi,

        Hisoblash k matritsaning kuchiga ehtiyoj bor k – 1 bitta matritsani ko’paytirish vaqtini, agar u ahamiyatsiz algoritm bilan bajarilsa (takroriy ko’paytirish). Bu juda ko’p vaqt talab qilishi mumkinligi sababli, odatda foydalanishni afzal ko’radi kvadratlar yordamida eksponentatsiya, bu kamroq talab qiladi 2 jurnal₂ k matritsani ko’paytirish va shuning uchun ancha samarali.

        Ko’rsatkichni ajratish uchun oson bo’lgan holat diagonal matritsa. Diagonal matritsalar mahsuloti shunchaki mos keladigan diagonal elementlarni bir-biriga ko’paytirishni tashkil etishi sababli k diagonal matritsaning kuchi yozuvlarni kuchga oshirish orqali olinadi k :

        ( a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n ) k = ( a 11 k 0 ⋯ 0 0 a 22 k ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n k ) . < displaystyle < begin a_ & 0 & cdots & 0 0 & a_ & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & a_ end > ^ = < begin a_ ^ & 0 & cdots & 0 0 & a_ ^ & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & a_ ^ end >.>

        Mavhum algebra

        Matritsa mahsulotining ta’rifi yozuvlar semiringa tegishli bo’lishini talab qiladi va semiring elementlarini ko’paytirishni talab qilmaydi kommutativ. Ko’pgina dasturlarda matritsa elementlari maydonga tegishli, ammo tropik semiring shuningdek, grafik uchun keng tarqalgan tanlovdir eng qisqa yo’l muammolar. [13] Maydonlar bo’yicha matritsalar holatida ham, mahsulot umuman olganda komutativ emas assotsiativ va shunday tarqatuvchi ustida matritsa qo’shilishi. The hisobga olish matritsalari (ular kvadrat matritsalar yozuvlari asosiy diagonaldan tashqarida nolga va asosiy diagonalda 1 ga teng) hisobga olish elementlari matritsa mahsulotining. Bundan kelib chiqadiki n × n matritsalar a uzuk agar bundan mustasno, halqa hosil qiling n = 1 va topraklama halqasi kommutativdir.

        Kvadrat matritsa a ga ega bo’lishi mumkin multiplikativ teskari, deb nomlangan teskari matritsa. Yozuvlar a ga tegishli bo’lgan umumiy holatda komutativ uzuk r , agar matritsa teskari bo’lsa va u bo’lsa aniqlovchi ichida multiplikativ teskari bor r . Kvadrat matritsalar ko’paytmasining determinanti omillar determinantlari ko’paytmasidir. The n × n teskari shaklga ega bo’lgan matritsalar a guruh matritsani ko’paytirish ostida kichik guruhlar deb nomlangan matritsa guruhlari. Ko’plab klassik guruhlar (shu jumladan, barchasi) cheklangan guruhlar ) bor izomorfik matritsa guruhlariga; bu nazariyaning boshlang’ich nuqtasi guruh vakolatxonalari.

        Hisoblashning murakkabligi

        Amalga oshirish texnikasi (xususan, parallel va taqsimlangan algoritmlar) uchun qarang Matritsalarni ko’paytirish algoritmi.

        Ko’rsatkich ko’rsatkichlarini takomillashtirish ω matritsani ko’paytirishni hisoblash murakkabligi uchun vaqt o’tishi bilan O ( n ω ) < displaystyle O (n ^ < omega>)> .

        Matritsani ko’paytirish algoritm ta’rif natijalari shuni talab qiladi eng yomon holat, n 3 < displaystyle n ^ > skalar ko’paytmalari va ( n − 1 ) n 2 < displaystyle (n-1) n ^ > ikki kvadrat hosilasini hisoblash uchun qo’shimchalar n×n matritsalar. Uning hisoblash murakkabligi shuning uchun O ( n 3 ) < displaystyle O (n ^ )> , a hisoblash modeli buning uchun skalar operatsiyalari doimiy vaqtni talab qiladi (amalda bu shunday suzuvchi nuqta raqamlar, lekin butun sonlar uchun emas).

        Buning ajablanarli joyi shundaki, 1969 yilda ko’rsatilgandek, bu murakkablik maqbul emas Volker Strassen, kim algoritmni taqdim etdi, endi chaqirdi Strassen algoritmi, murakkabligi bilan O ( n jurnal 2 ⁡ 7 ) ≈ O ( n 2.8074 ) . < displaystyle O (n ^ < log _ 7>) taxminan O (n ^ ).> [14] Matritsani ko’paytirishning murakkabligida paydo bo’ladigan ko’rsatkich bir necha bor yaxshilandi, [15] [16] [17] [18] [19] [20] olib boradi Misgar – Winograd algoritmi ning murakkabligi bilan O(n 2.3755 ) (1990). [21] [22] Ushbu algoritm 2010 yilda Stothers tomonidan biroz takomillashtirildi O(n 2.3737 ) , [23] 2013 yilda Virjiniya Vassilevska Uilyams ga O(n 2.3729 ) , [22] va 2014 yilda Fransua Le Gall tomonidan O(n 2.3728639 ) . [24] Bu 2020 yilda Josh Alman va Virjiniya Vassilevska Uilyams tomonidan takomillashtirilib, yakuniy (dolzarb) murakkabligi O(n 2.3728596 ) . [25]

        Bilan bog’liq murakkabliklar

        Matritsani ko’paytirishning hisoblash murakkabligining ahamiyati ko’plab algoritmik masalalarni matritsani hisoblash yo’li bilan hal qilish mumkinligi faktlariga asoslanadi va matritsalardagi ko’pgina masalalar matritsani ko’paytirish bilan bir xil bo’lgan murakkablikka ega (multiplikativ doimiygacha) ), yoki matritsani ko’paytirishning murakkabligi yoki uning ko’rsatkichi bilan ifodalanishi mumkin ω .

        Ko’rsatkich jihatidan murakkablikni ifodalashning bir qancha afzalliklari mavjud ω < displaystyle omega>matritsani ko’paytirish. Birinchidan, agar ω < displaystyle omega>takomillashtirildi, bu avtomatik ravishda ko’plab algoritmlarning murakkabligining yuqori chegarasini yaxshilaydi. Ikkinchidan, amaliy dasturlarda hech qachon eng yaxshi asimptotik murakkablikka ega bo’lgan matritsani ko’paytirish algoritmidan foydalanilmaydi, chunki doimiy doimiy katta O yozuvlari algoritmni kompyuterda boshqarish mumkin bo’lgan matritsalarning o’lchamlari uchun raqobatbardosh qilish uchun juda katta. [ iqtibos kerak ] Shunday qilib murakkabliklarni ω < displaystyle omega>yanada aniqroq murakkablikni taqdim eting, chunki matritsani hisoblash uchun qaysi algoritm tanlangan bo’lsa ham amal qiladi.

        Matritsani ko’paytirish bilan bir xil asimptotik murakkablikka ega muammolar kiradi aniqlovchi, matritsa inversiyasi, Gaussni yo’q qilish (keyingi qismga qarang). Jihatidan tushunarli bo’lgan murakkablik bilan bog’liq muammolar ω < displaystyle omega>xarakterli polinomni, o’z qiymatlarini (lekin o’zaro vektorlarni emas), Hermit normal shakli va Smitning normal shakli. [ iqtibos kerak ]

        Matritsaning inversiyasi, determinant va Gauss eliminatsiyasi

        O’zining 1969 yilgi maqolasida u murakkablikni isbotlagan O ( n 2.807 ) < displaystyle O (n ^ )> matritsali hisoblash uchun Strassen ham buni isbotladi matritsa inversiyasi, aniqlovchi va Gaussni yo’q qilish multiplikativ doimiygacha, xuddi shunday hisoblash murakkabligi matritsani ko’paytirish sifatida. Matritsani ko’paytirish bo’yicha isbot ishlatiladigan matematikani taxmin qilmaydi, faqat uning murakkabligi O ( n ω ) < displaystyle O (n ^ < omega>)> kimdir uchun ω ≥ 2

        Strassenning isbotining boshlang’ich nuqtasidan foydalaniladi blokli matritsa ko’paytirish. Xususan, hatto o’lchovli matritsa 2n×2n to’rtga bo’linishi mumkin n×n bloklar

        Ushbu shakl ostida uning teskarisi

        sharti bilan A va D. − C A − 1 B < displaystyle - ^ > qaytarib bo’lmaydigan.

        Shunday qilib, a ning teskarisi 2n×2n matritsani ikkita inversiya, oltita ko’paytirish va to’rtta qo’shimchalar yoki qo’shimchalar inversiyalari bilan hisoblash mumkin n×n matritsalar. Bundan kelib chiqadiki, mos ravishda tomonidan belgilanadi Men(n) , M(n) va A(n) = n 2 teskari aylantirish, ko’paytirish va qo’shish uchun zarur bo’lgan operatsiyalar soni n×n matritsalar mavjud

        Men ( 2 n ) ≤ 2 Men ( n ) + 6 M ( n ) + 4 A ( n ) .

        Agar n = 2 k , < displaystyle n = 2 ^ ,> ushbu formulani rekursiv ravishda qo’llash mumkin:

        Men ( 2 k ) ≤ 2 Men ( 2 k − 1 ) + 6 M ( 2 k − 1 ) + 4 A ( 2 k − 1 ) ≤ 2 2 Men ( 2 k − 2 ) + 6 ( M ( 2 k − 1 ) + 2 M ( 2 k − 2 ) ) + 4 ( A ( 2 k − 1 ) + 2 A ( 2 k − 2 ) ) … < displaystyle < begin I (2 ^ ) & leq 2I (2 ^ ) + 6M (2 ^ ) + 4A (2 ^ ) & leq 2 ^ I (2 ^ ) + 6 (M (2 ^ ) + 2M (2 ^ )) + 4 ( A (2 ^ ) + 2A (2 ^ )) & ldots end >>

        Agar M ( n ) ≤ v n ω , < displaystyle M (n) leq cn ^ < omega>,> va a = 2 ω ≥ 4 , < displaystyle alpha = 2 ^ < omega>geq 4,> kimdir oxir-oqibat oladi

        Men ( 2 k ) ≤ 2 k Men ( 1 ) + 6 v ( a k − 1 + 2 a k − 2 + ⋯ + 2 k − 1 a 0 ) + k 2 k + 1 ≤ 2 k + 6 v a k − 2 k a − 2 + k 2 k + 1 ≤ d ( 2 k ) ω . < displaystyle < begin I (2 ^ ) & leq 2 ^ I (1) + 6c ( alfa ^ +2 alfa ^ + cdots + 2 ^ alfa ^ ) + k2 ^ & leq 2 ^ + 6c < frac < alpha ^ -2 ^ > < alfa -2>> + k2 ^ & leq d (2 ^ ) ^ < omega>. end >>

        ba’zi bir doimiy uchun d .

        O’lchamlari ikkitaning kuchi bo’lmagan matritsalar uchun bir xil murakkablikka matritsaning o’lchamini ikki darajaga oshirish, matritsani diagonali bo’yicha 1 va boshqa joylarida 0 bo’lgan satrlar va ustunlar bilan to’ldirish orqali erishiladi.

        Bu matritsalar uchun tasdiqlangan murakkablikni isbotlaydi, chunki teskari o’girilishi kerak bo’lgan barcha submatrikalar haqiqatan ham qaytarib bo’lmaydi. Shunday qilib, bu murakkablik deyarli barcha matritsalar uchun isbotlangan, chunki tasodifiy tanlangan yozuvlar bilan matritsa ehtimollik bilan qaytariladi.

        Xuddi shu dalilga tegishli LU parchalanishi, agar matritsa bo’lsa A qaytarib bo’lmaydigan, tenglik

        ga rekursiv ravishda qo’llanilishi mumkin bo’lgan blok LU dekompozitsiyasini belgilaydi A < displaystyle A>va D. − C A − 1 B , < displaystyle D-CA ^ B,> oxir-oqibat asl matritsaning haqiqiy LU dekompozitsiyasini olish uchun.

        Argument determinant uchun ham qo’llaniladi, chunki u blok LU dekompozitsiyasidan kelib chiqadi

        Shuningdek qarang

        • Matritsani hisoblash, matritsani ko’paytirishni hisoblashdan operatsiyalar bilan o’zaro ta’siri uchun
        • Matritsa mahsulotlarining boshqa turlari:
          • Matritsani ko’paytirishni blokirovka qilish
          • Krakoviya mahsuloti sifatida belgilanadi A ∧ B = B T A
          • Frobenius ichki mahsuloti, nuqta mahsuloti vektor sifatida qaraladigan matritsalar yoki shunga teng ravishda Hadamard mahsuloti yozuvlari yig’indisi
          • Hadamard mahsuloti bir xil o’lchamdagi ikkita matritsaning natijasi, natijada bir xil o’lchamdagi matritsa hosil bo’ladi, bu mahsulotni kiritish usuli
          • Kronecker mahsuloti yoki tensor mahsuloti, oldingi har qanday o’lchamdagi umumlashtirish
          • Xatri-Rao mahsuloti va Yuzni ajratuvchi mahsulot
          • Tashqi mahsulot deb nomlangan dyadik mahsulot yoki tensor mahsuloti ikkita ustunli matritsalar, ya’ni a b T < displaystyle mathbf mathbf ^ < mathsf >>
          • Skalyar ko’paytirish

          Izohlar

          1. ^ ab“Algebra belgilarining to’liq ro’yxati”. Matematik kassa. 2020-03-25 . Olingan 2020-09-06 .
          2. ^ ab Nykamp, ​​Dueyn. “Matritsalar va vektorlarni ko’paytirish”. Matematik tushuncha . Olingan 6 sentyabr, 2020 .
          3. ^O’Konnor, Jon J.; Robertson, Edmund F., “Jak Filipp Mari Binet”, MacTutor Matematika tarixi arxivi, Sent-Endryus universiteti
          4. .
          5. ^ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Fizika entsiklopediyasi (2-nashr). VHC noshirlari. ISBN978-3-527-26954-9 .
          6. ^ Parker, B. B. (1994). McGraw Hill fizika entsiklopediyasi (2-nashr). ISBN978-0-07-051400-3 .
          7. ^ Lipschutz, S .; Lipson, M. (2009). Lineer algebra. Schaumning konturlari (4-nashr). McGraw Hill (AQSh). 30-31 betlar. ISBN978-0-07-154352-1 .
          8. ^ Riley, K. F.; Xobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Fizika va texnika uchun matematik usullar . Kembrij universiteti matbuoti. ISBN978-0-521-86153-3 .
          9. ^ Adams, R. A. (1995). Hisoblash, to’liq kurs (3-nashr). Addison Uesli. p. 627. ISBN0-201-82823-5 .
          10. ^ Xorn, Jonson (2013). Matritsa tahlili (2-nashr). Kembrij universiteti matbuoti. p. 6. ISBN978-0-521-54823-6 .
          11. ^ abv Vayshteyn, Erik V. “Matritsani ko’paytirish”. mathworld.wolfram.com . Olingan 2020-09-06 .
          12. ^ Lipkshuts, S .; Lipson, M. (2009). “2”. Lineer algebra. Schaumning tasavvurlari (4-nashr). McGraw Hill (AQSh). ISBN978-0-07-154352-1 .
          13. ^ Xorn, Jonson (2013). “0”. Matritsa tahlili (2-nashr). Kembrij universiteti matbuoti. ISBN978-0-521-54823-6 .
          14. ^Motvani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar (1995). Tasodifiy algoritmlar. Kembrij universiteti matbuoti. p. 280. ISBN9780521474658 .
          15. ^ Volker Strassen (1969 yil avgust). “Gaussni yo’q qilish maqbul emas”. Numerische Mathematik. 13 (4): 354–356. doi:10.1007 / BF02165411. S2CID121656251.
          16. ^ V. Ya Pan (1978). “Strassen algoritmi matritsa operatsiyalari uchun tezkor algoritmlarni tuzish uchun yig’ish, birlashtirish va bekor qilishning maqbul uchlikli texnikasi emas”. Proc. 19-Fokus. 166–176 betlar. doi:10.1109 / SFCS.1978.34. S2CID14348408.
          17. ^ Dario Andrea Bini; Milvio Kapovani; Franchesko Romani; Graziya Lotti (1979 yil iyun). ” O ( n 2.7799 ) < displaystyle O (n ^ )> uchun murakkablik n × n < displaystyle n times n>matritsani taxminiy ko’paytirish “. Axborotni qayta ishlash xatlari. 8 (5): 234–235. doi:10.1016/0020-0190(79)90113-3.
          18. ^ A. Shonhage (1981). “Matritsani qisman va to’liq ko’paytirish”. Hisoblash bo’yicha SIAM jurnali. 10 (3): 434–455. doi:10.1137/0210032.
          19. ^ Franchesko Romani (1982). “Matritsani ko’paytirish bilan bog’liq bo’lgan tensorlarning ajratilgan yig’indilarining ba’zi xususiyatlari”. Hisoblash bo’yicha SIAM jurnali. 11 (2): 263–267. doi:10.1137/0211020.
          20. ^ D. Kopersmit va S. Winograd (1981). “Matritsani ko’paytirishning asimptotik murakkabligi to’g’risida”. Proc. Kompyuter fanlari asoslari bo’yicha 22-yillik simpozium (SFCS). 82-90 betlar. doi:10.1109 / SFCS.1981.27. S2CID206558664.
          21. ^ Volker Strassen (1986 yil oktyabr). “Tenzorlarning asimptotik spektri va matritsani ko’paytirish ko’rsatkichi”. Proc. 27-Ann. Simp. Informatika asoslari to’g’risida (FOCS). 49-54 betlar. doi:10.1109 / SFCS.1986.52. S2CID15077423.
          22. ^ D. Kopersmit va S. Winograd (1990 yil mart). “Arifmetik progresiyalar orqali matritsani ko’paytirish”. J. Ramziy hisoblash. 9 (3): 251–280. doi:10.1016 / S0747-7171 (08) 80013-2.
          23. ^ abUilyams, Virjiniya Vassilevska. Matritsalarni ko’paytirish O ( n 2.373 ) < displaystyle O (n ^ )> vaqt (PDF) (Texnik hisobot). Stenford universiteti.
          24. ^ Stothers, Endryu Jeyms (2010). Matritsani ko’paytirishning murakkabligi to’g’risida (Doktorlik dissertatsiyasi). Edinburg universiteti.
          25. ^ Le Gall, Fransua (2014), “Tensorlarning kuchlari va tezkor matritsalarni ko’paytirish”, Simvolik va algebraik hisoblash bo’yicha 39-Xalqaro simpozium materiallari (ISSAC 2014), arXiv: 1401.7714 , Bibcode:2014arXiv1401.7714L
          26. ^ Alman, Josh; Uilyams, Virjiniya Vassilevska (2020), “Nozik lazer usuli va tezroq matritsani ko’paytirish”, Diskret algoritmlar bo’yicha 32-yillik ACM-SIAM simpoziumi (SODA 2021), arXiv: 2010.05846
          27. ^ Raz, Ran (2003 yil yanvar). “Matritsa mahsulotining murakkabligi to’g’risida”. Hisoblash bo’yicha SIAM jurnali. 32 (5): 1356–1369. doi:10.1137 / s0097539702402147. ISSN0097-5397.

          Adabiyotlar

          • Genri Kon, Robert Klaynberg, Balas Szegedy va Kris Umans. Matritsani ko’paytirishning guruh-nazariy algoritmlari. arXiv:matematik.GR/0511460. Kompyuter fanlari asoslari bo’yicha 46-yillik simpozium materiallari to’plami, 2005 yil 23-25 ​​oktyabr, Pitsburg, Pensilvaniya, IEEE Kompyuter Jamiyati, 379-388 bet.
          • Genri Kon, Kris Umans. Matritsani ko’paytirishga guruh-nazariy yondashuv. arXiv:matematik.GR/0307321. Kompyuter fanlari asoslari bo’yicha 44-yillik IEEE simpoziumi materiallari, 2003 yil 11-14 oktyabr, Kembrij, MA, IEEE Computer Society, 438–449 betlar.
          • Mischi, D.; Winograd, S. (1990). “Arifmetik progressiyalar orqali matritsani ko’paytirish”. J. Symbolic Comput. 9 (3): 251–280. doi:10.1016 / s0747-7171 (08) 80013-2.
          • Xorn, Rojer A.; Jonson, Charlz R. (1991), Matritsa tahlilidagi mavzular, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN978-0-521-46713-1
          • Knut, D.E., Kompyuter dasturlash san’ati 2-jild: Seminumerical algoritmlar. Addison-Uesli Professional; 3 nashr (1997 yil 14-noyabr).
          • ISBN 978-0-201-89684-8. 501 bet.
          • Matbuot, Uilyam H.; Flannery, Brian P.; Teukolskiy, Shoul A.; Vetterling, Uilyam T. (2007), Raqamli retseptlar: Ilmiy hisoblash san’ati (3-nashr), Kembrij universiteti matbuoti, ISBN978-0-521-88068-8
          • .
          • Ran Raz. Matritsa mahsulotining murakkabligi to’g’risida. Hisoblash nazariyasi bo’yicha o’ttiz to’rtinchi ACM simpoziumi materiallarida. ACM Press, 2002 yil. doi:10.1145/509907.509932.
          • Robinzon, Sara, Matritsani ko’paytirish uchun optimal algoritmga, SIAM News 38 (9), 2005 yil noyabr. PDF
          • Strassen, Volker, Gaussni yo’q qilish maqbul emas, Raqam. Matematika. 13, p. 354-356, 1969 yil.
          • Styan, Jorj P. H. (1973), “Hadamard mahsulotlari va ko’p o’zgaruvchan statistik tahlil” (PDF) , Chiziqli algebra va uning qo’llanilishi, 6: 217–240, doi:10.1016/0024-3795(73)90023-2
          • Uilyams, Virjiniya Vassilevska (2012-05-19). “Matritsalarni mischi-winogradga qaraganda tezroq ko’paytirish”. Hisoblash nazariyasi bo’yicha 44-simpozium materiallari – STOC ’12. ACM. 887-898 betlar. CiteSeerX10.1.1.297.2680 . doi:10.1145/2213977.2214056. ISBN9781450312455 . S2CID14350287.
          • Mavhum algebra
          • Kategoriya nazariyasi
          • Boshlang’ich algebra
          • K-nazariyasi
          • Kommutativ algebra
          • Kommutativ bo’lmagan algebra
          • Buyurtmalar nazariyasi
          • Umumjahon algebra
          • Guruh (nazariya )
          • Qo’ng’iroq (nazariya )
          • Modul (nazariya )
          • Maydon
          • Polinom halqasi (Polinom )
          • Tarkibi algebra
          • Matritsa (nazariya)
          • Vektor maydoni (Vektor )
          • Modul
          • Ichki mahsulot maydoni (nuqta mahsuloti )
          • Hilbert maydoni
          • Tensor algebra
          • Tashqi algebra
          • Nosimmetrik algebra
          • Geometrik algebra (Multivektor )

          Related posts:

          Pampers necha yoshgacha kiyiladi??? Azamat Axrorov haqida, oilasi, instagram, rasmlari As’ad ibn Zurora Гель для душа qanday ishlatiladi