Yuqori darajali algebraik tenglamalar. Bezu teoremasi. Gorner sxemasi. Ko`phadning ildizlari

2-natija. n-darajali ko`phad n tadan ortiq har xil ildizga ega bo`la olmaydi.

Gorner sxemasi. Bezu teoremasi

Ko’pxad ildizlarinig umumiy xossalari.
Ko`phadlarning ildizlari
Reja:

Qadimda faqat ko`phadlarni ildizlarini o`rganish uchun algеbra fanini o`rganishgan.Endilikda bu yo`nalish asosiyligini yo`qotgan bo`lsa ham , lеkin bu yo`nalish muhimligini saqlab qolgan. Asosiy masala shundan iboratki, matеmatikaning ko`pgina masalalari oxir oqibatda bеrilgan ko`phadning ildizlarini yoki ildizlar to`plamini hisoblashga kеladi.Biz faqat ildizlarning sodda xossalarinigina o`rgana oldik.Komplеks sonlar maydoni C da ko`phad ildizini o`rganish uchun еtarli bo`ladi.

Ildizlarning umumiy xossalari.
1.Ildizlar va chiziqli ko`paytuvchilar.
Birlik elеmеntga ega bo`lgan A halqa butunlik sohasi K da yotsin.
Ta’rif.Elеmеnt с К f(x) A[x] ko`phadning ildizi (yoki noli) deyiladi, agarda f( c ) = 0 bo`lsa. c son f(x) = 0 tеnglamaning ildizi ham dеyiladi.
A halqani o`z ichiga oluvchi halqani qarash shu tomondan zarurligi tushunarli bo`ladiki, chunki f(x) = x 2 +1 ko`phad R ustida berilgan, biroq R da ildizga ega emas.Lekin f(i) = 0, i C=R[i].Avvalo biz K = A bo`lgan holni qaraymiz.
1- teorema.(Bezu teoremasi) Element с А f(x) A[x] ko`phadning ildizi bo`ladi faqat va faqat agarda f( х ) ko`phad A[x] halqada х-c ga bo`linsa.
Isboti.Bu tеorеma biz avvallroq isbotlashimiz mumkin bo`lgan tasdiqning bir qismi, ya’ni qoldiqli bo`lish algritmidan quyidagi tеnglikni hosil qilamiz:
f(x) = (x-c)q(x) + r(x) , bunda deg r(x) n +a₁x n-1 +. +a_n a_i A
bo`lsin. (1) ifodaga asosan,
q(x) = b<sub>0</sub>x n-1 +b<sub>1</sub>x n-2 +. +b<sub>n-1</sub> b<sub>j</sub> A
bo`ladi.Ushbu (1) formulaga x ni bir xil darajalari oldidagi koeffitsеnlarni tеnglashtirib, so`ngra bir oz soddalashtirib ,quyidagi jadvalni hosil qilamiz.

b0=a0

.

bk=bk-1c+ak

.

bn-1=bn-2c+an-1

f( c)=bn-1c+an

(2)
ushbu jadvalda f ko`phadni x = c dagi qiymati hisoblanadi. (2) rеkurеnt munosabat «Gornеr sxеmasi» dеyiladi.
Ta`rif. Element с А f(x) A[x] ko`phadning k karrali ildizi ( yoki k karrali noli) deyiladi, agarda f( х ) ko`phad (x-c) k ga bo`linsa, lekin (x-c) k+1 bo`linmasa.
Ko`phadning 1 karrali ildizi oddiy ildiz, k = 2 yoki 3 bo`lishiga qarab ikki yoki uch karrali ildizi deyiladi..
Shunday qilib, с А f(x) A[x] ko`phadning k karrali ildizi bo`ladi, agarda f ( х) = (x-c) k g(x) bo`lsa, bunda (x-c, g(x) ) = 1 . (1) formulaga ko`ra esa g( c)  0 deg f = k + deg g bundan k  deg f bo`ladi. Shunday qilib, quyidagi teorema o`rinli:
2-teorema. А butunlik sohasi. f  0 esa A[x] halqadagi ko`phad va c<sub>1</sub>,c<sub>2</sub>. c<sub>r</sub> lar esa uni mos ravishda k<sub>1</sub>,k<sub>2</sub>. k<sub>r</sub> karrali ildizlari bo`lsin. U holda f(x) = (x-c₁) k ₁(x-c₂) k ₂. (x-c_r) k _r g(x), g(x) A[x], g(c_i)  0, i = 1,2. r. bo`ladi.
Xususan,f(x) A[x] ko`phadning ildizlari soni uni darajasidan katta bo`lmaydi:
k<sub>1</sub>+k<sub>2</sub>+. +k<sub>r</sub>  deg f (3)
Isboti. Q(A) nisbatlar maydoniga o`tish etarli (agarda A halqa boshida maydon bo`lmasa) va x-c<sub>1</sub>. x-c<sub>r</sub> ko`paytuvchilarga bir qiymatli yoyilma Q(A)[x] halqada o`rinli ekanligidan foydalananishimiz mumkin.Likin bunga zarurat yo`q, quyidagicha fikrlaymiz.
Shunday qilib, deg f = (k₁+k₂+. +k_r )+ deg g , u holda (3) tengsizlikni f ni (x-c₁) k ₁. (x-c_r) k _r ga bo`linish natijasini r bo`yicha induksiyalab isbotlaymiz. r = 1 da isbotlashni hojati yo`q.faraz qilaylik, bizga ma`lum bo`lsinki:
f(x) = (x-c<sub>1</sub>) k <sub>1</sub>(x-c<sub>2</sub>) k <sub>2</sub>. (x-c<sub>r-1</sub>) k <sub>r-1</sub> h(x),
Shunday qilib, c<sub>r</sub>-c<sub>1</sub> 0. c<sub>r</sub>-c<sub>r-1</sub> 0 va A butunlik sohasi bo`lsa, u holda c_r ushbu (x-c₁) k ₁(x-c₂) k ₂. (x-c_r-1) k _r-1 ko`phadning ildizi bo`lmaydi.Lekin c_r f ning k_r– karraki ildizi, ya`ni f(x) = (x-c<sub>r</sub>) k u(x) ,shu sababli h(c<sub>r</sub>) = 0. Mos ravishda h(x) = (x-c<sub>r</sub>) s v(x) , s  k<sub>r</sub> . U holda
(x-c<sub>r</sub>) k <sub>r</sub> u(x) = f(x) = (x-c<sub>1</sub>) k <sub>1</sub>(x-c<sub>2</sub>) k <sub>2</sub>. (x-c<sub>r-1</sub>) k <sub>r-1</sub>(x-c<sub>r</sub>) s v(x),
tenglikni hosil qilamiz. A[x] butunlik sohasida qisqartirish qonunidan foydalansak, s = k<sub>r</sub> degan fikrga kelamiz.
А halqa butunlik sohasi bo`lsin degan shartni olib tashlasak, u holda 2-teorema o`rinli bo`lmay qoladi. Masalan, f(x) = x 3 ko`phad Z<sub>8</sub> halqada: f(0) = f(2) = f(4) = f(6) = 0 bo`ladi.f ni Z₈[x] halqada yoyib quyidagi yoyilmalarni hosil qilamiz: f = x 3 = x (x-4) 2 = (x-2)(x 2 +2x+4) =
=(x-6)(x 2 -2x+4)
2-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Ikkita f, g  A[x] ko`phadlar darajalari  n bo`lsa va А butunlik sohasini n+1 ta har xil elementlariga ularni qiymatlari teng bo`lsa, u holda ular teng bo`ladi , ya`ni f = g bo`ladi.

Do’stlaringiz bilan baham:

Yuqori darajali algebraik tenglamalar. Bezu teoremasi. Gorner sxemasi. Ko`phadning ildizlari

Yuqori darajali algebraik tenglamalar.
1. Bezu teoremasi. Gorner sxemasi. Ko`phadning ildizlari. (Etyen Bezu (1730-1783) – fransuz matematigi). P(x) ko`phadni x-a ikkihadga bo`lganda bo`linmada Q(x), qoldiqda R(x) qolsin:

Agar bu munosabatga x=a qo`yilsa, P(a)=0∙Q(a)+R(a)=R(a)=r hosil bo`ladi. Shu tariqa ushbu teorema isbotlanadi:

1-teorema (Bezu). P(x)=a ₀x n +a₁x n-1 +. +a_n-1x+a_n(a≠0) ko`phadni x-a ga bo`lishdan chiqadigan r qoldiq shu ko`phadning x=a dagi qiymatiga teng, r=P(a).

Masalan, 1) x 5 +x+20 ni x+2 ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq r=(-2) 5 +(-2)+20=-14; 2) x 5 +x+34 ni x+2 ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq r=(-2) 5 +(-2)+34=0.

Demak, x=-2 soni shu ko`phadning ildizi.

Natijalar. n€N bo`lganda:

x 5 -a 5 =(x-a)(x 4 +ax 3 +a 2 x 2 +a 3 x+a 4 );

x 5 +a 5 =(x+a)(x 4 -ax 3 +a 2 x 2 -a 3 x+a 4);

x 6 -a 6 =(x-a)(x 5 +ax 4 +a 2 x 3 +a 3 x 2 +a 4 x+a 5 );

x 6 -a 6 =(x+a)(x 5 -ax 4 +a 2 x 3 -a 3 x 2 +a 4 x-a 5 ).

Bulardan ko`rinadiki, bo`linma albatta bir jinsli ko`phad bo`lib, x ning darajalari kamayib, a ning darajalarida o`sish tartibida joylashgan va agar bo`luvchi a+x bo`lsa, koeffitsiyentlar +1 va -1 almashib keladi, agar bo`luvchi x-a bo`lsa, bo`linmada hosil bo`lgan ko`phadning koeffitsiyentlari 1 ga teng bo`ladi. Bu xulosalarni istagan darajali ko`phadlar uchun umumlashtirish mumkin.

1-misol. x 5 -ax+4 ni x+3 ga bo`lishdagi qoldiq r=4 bo`lsa, a ni toping.

Yechish. (-3) 5 -a∙(-3)+4=4, bundan a=81.

P(x)=a₀x n +a₁x n-1 +a₂x n-2 +. +a_n ko`phadni x-a ikkihadga bo`lishdagi qoldiqni hisoblashning Gorner (Xorner Uilyam (1786-1837) – ingliz matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko`rsatamiz.

Q(x)=b₀x n-1 +b₁x n-2 +b₂x n-3 +. +b_n-1.

(1) da x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bo`lamiz:

Bundan ko`rinadiki, b₀=a₀, b_k=αb_k-1+a_k, k=1,2. n-1, r=a_n+αb_n-1.

Bo`linma va qoldiqni hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.

2-misol. x 3 +4x 2 -3x+5 ko`phadni Gorner sxemasidan foydalanib, x-1 ga bo`lishni bajaramiz.

Demak, x 3 +4x 2 -3x+5=(x-1)(x 2 +5x+2)+7.

Bezu teoremasidan P(x) ko`phadni ax+b ko`rinishdagi ikkihadga bo`lishda hosil bo`ladigan r qoldiq P(-b/a) ga teng bo`lishi kelib chiqadi.

3-misol. P₃(x)=x 3 -3x 2 +5x+7 ni 2x+1 ga bo`lishdan hosil bo`lgan qoldiqni toping.

Yechish. Qoldiq r=P₃(-1/2)=(-1/3) 3 -3∙(-1/2) 2 +5∙(-1/2)+7=29/8 ga teng.

2-teorema. Agar α soni P(x) ko`phadning ildizi bo`lsa, P(x) ko`phad x-a ikkihadgaqoldiqsiz bo`linadi.

Isbot. Bezu teoremasiga ko`ra, P(x) ni x-a ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq P(α) ga teng, shart bo`yicha esa P(α)=0. Isbot bajarildi.

Bu teorema P(x)=0 tenglamani yechish masalasini P(x) ko`phadni chiziqli ko`paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi.

1-natija. Agar P(x) ko`phad har xil α <sub>1</sub>, . α<sub>n</sub> ildizlarga ega bo`lsa, u (x-α₁) . (x-a_n) ko`paytmaga qoldiqsiz bo`linadi.

2-natija. n-darajali ko`phad n tadan ortiq har xil ildizga ega bo`la olmaydi.

Isbot. Agar n- darajali P(x) ko`phad n+1 ta har xil α<sub>1</sub>, . α<sub>k+1</sub> ildizlarga ega bo`lganda, u n+1-darajalin (x-α₁). (x-α_k+1) ko`paytmaga qoldiqsiz bo`linardi. Lekin bunday bo`lishi mumkin emas.

Yuqorida qaralgan teoremalardan foydalanib, Fransua Viyet (fransuz olimi, 1540-1603) tomonidan berilgan hamda P(x)=0 butun algebraik tenglamaning a_i haqiqiy koeffitsiyentlari va α_i ildizlari orasidagi munosabatni ifodalovchi formulalarni keltiramiz:

1) a₂x 2 +a₁x+a₀=b(x-α₁)(x-α₂)=bx 2 -b(α₁-α₂)x++bα₁α₂. Agar x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari tenglashtirilsa, b=a₂ bo`ladi. Natijada ushbu formulalar topiladi:

2) shu tartibda P₃(x)=a₃x 3 +a₂x 2 +a₁x+a₀ uchun:

α₁+α₂+α₃=-a₂/a₃, α₁α₂+α₁α₃+α₂α₃=a₁/a₃, α₁α₂α₃=-a₀/a₃ formulalar topiladi.

Hosil qilingan tengliklarning bajarilishi α₁ . α_n sonlarining P_n(x)=a_nx n +. +a₀ ko`phad ildizlari

Mavzu: Yuqori darajali algebraik tenglamalar.