0 qanday son

В отношениях с одинаковыми основаниями степеней мы можем делать следующее:

Математика с нуля: чем интересно число 0?

Попробуем делить на ноль и узнаем больше об истории и свойствах числа, расположенного ровно посередине числовой оси.

Ноль — это, пожалуй, первое в нашей жизни загадочное число. Мы много слышали, например, о чудесах числа Пи, но мало кто имеет с ним дело в повседневной жизни. Не говоря уже о комплексных числах. А вот с нолём мы сталкиваемся повсюду: даже на клавиатуре обозначающая его цифра завершает ряд.

Но любой понимает, что с этим числом не всё в порядке. В детстве, когда мы ещё думали, что арифметика нужна только для счёта, нам объясняли, что ноль — это отсутствие. И это было странно.

Если у меня ноль конфет, считать вообще нечего — зачем тогда о них говорить? Только травить душу.

Читайте также :

Поэтому и в истории человечества это число появилось поздно. Торговцы активно использовали счёт, но продавать, например, «ноль овец» не имело смысла. Впрочем, как и отрицательное их количество.

Вышло любопытно: например, древние греки не использовали ноль в принципе, зато уже знали об иррациональных числах, таких как √2. Это было связано с их любовью к геометрии: если у прямоугольного треугольника стороны будут равны 1, длина гипотенузы вычисляется как √2.

Но как же десятеричная система счёта? Ведь даже чтобы записать «10», нам нужен ноль. Но здесь дело только в записи числа: если вы вспомните римские цифры, то поймёте, что десятку можно представить и как Х. Конечно, такая форма была не особенно удобной, но даже вавилоняне, пользовавшиеся позиционной системой счисления (то есть, близкой нашей, а не древнеримской), долго обходились без ноля. Некоторое время его просто не было: числа, скажем, 36 и 306 не различались по написанию и определялись по контексту. Потом его роль стали выполнять два клинышка, вроде вот этих: 3’’6. Но и тогда они самостоятельной роли не играли — не было числа «ноль».

Сложно сказать, когда оно в действительности появилось. При этом есть свидетельства, что в Индии его использовали еще до нашей эры, после чего его переняли арабы — а вот на Западе оно стало входить в практику только в XIII веке усилиями итальянского математика Леонарда Фибоначчи. И то, его любовь к арабскому счислению долго не воспринималась всерьёз.

Чтобы «понять» ноль, нужно немалое интеллектуальное усилие — подобное тому, которое вообще привело к рождению числа как абстракции.

Известно, что первые слова, обозначавшие количество, имели конкретное применение — «пять лошадей» и «пять лодок» были для древнего человека разными категориями. Чтобы изобрести ноль, требовалось перейти на новый уровень абстрактного мышления.

Но если мы поверим в ноль, его свойства поразят воображение.

Кадр из фильма «Умница Уилл Хантинг».

Возвести в нулевую степень

Ещё по этой теме :

С самыми простыми операциями проблем не возникает: прибавить ноль или вычесть его из числа — число остаётся тем же, умножить на ноль — получится ноль… Всё это укладывается в рамки здравого смысла. Сложнее становится при возведении в нулевую степень. В школе сообщают, что результатом в каждом случае будет единица. Откуда она взялась?

Тут рассудок уже пасует. Степень — это, как известно, то, сколько раз мы берём число как множитель самого себя.

2 2 = 2 ∙ 2 = 4

Если степень нулевая, число не является множителем ни разу, но… как из этой пустоты «родилась» единица?

Чаще всего в школе этот вопрос решается догматически: на объяснения не остаётся желания и сил. А ведь именно здесь пролегает одна из границ, за которой простая арифметика, наглядно показываемая на яблоках и прочих исчислимых вещах, становится уже чистой и прекрасной абстракцией.

Вспомним правила обращения с числами, возводимыми в степень, и представим себе следующий пример:

В отношениях с одинаковыми основаниями степеней мы можем делать следующее:

x n / x n = x n – n = x 0
Одновременно с этим мы понимаем, что результат деления любого числа на само себя — это единица.

Так вот чудесным образом, благодаря только принятию ноля как числа, мы переходим к новому странному открытию, и математика совершает куда более далёкий прыжок от реальности, чем просто представление «у меня ноль конфет».

Но именно внутренняя логика системы, которая может быть понята умом, но не может быть представлена в вещественном мире — это и есть красота абстракции.

«Спиралик», гравюра Маурица Эшера.

Поделить на ноль

Это может быть интересно :

«Деление на ноль» давно стало интернет-мемом, правда, довольно неопределённым. То оно означает аннигиляцию чего бы то ни было (а ведь логичнее было бы умножить на ноль), то вовсе разрушение математических основ мироздания. И второе ближе к истине.

«Деление на ноль как секс — всем можно, а школьникам нет», — шутка может считаться остроумной, но в ней только доля правды.

Большинство учёных всё-таки считают эту операцию с нолём невозможной или обладающей неопределённым результатом.

Можете сами провести эксперимент, испытав подручные калькуляторы. Например, телефон на Android у автора материала дал ответ «1 / 0 = ∞», а Windows 10 выдал ошибку: «Деление на ноль невозможно». Большинство других калькуляторов ведёт себя так же. Зато в первом случае можно поменять знак, и мы получим странную картину: «-1 / 0 = -∞».

В чём же дело, и почему даже машины не могут между собой «договориться»?

Чисто арифметически делимость на ноль приводит к рискованным выводам. Смотрите сами:

0 ∙ x = 0 ∙ y, где x и y — два любых произвольных числа.

Это лишь известное нам свойство ноля. Но если на него можно делить, то, сократив обе части, мы получим:

Любое число равняется любому числу, что рушит разом сами основы арифметики. Докатились.

Почему же речь иногда заходит о бесконечности? Дело в том, что проблему пытаются решить через деление на бесконечно малую функцию, то есть построение графика функции, где x стремился бы к нулю. Так мы пытаемся найти y = 1 / x, и получается следующее:

И вот он, наш результат деления на ноль, который уходит в -∞ с одной стороны и +∞ с другой. Чем же не устраивает этот ответ большинство учёных? Тем, что бесконечность не может быть названа числом: обычные арифметические операции с ней приводят, опять-таки, к парадоксальным выводам. Хоть на ней и построен математический анализ, она является идеей, а не числом.

Можно сказать, что 1 / 0 = ∞ — это просто отговорка, свидетельствующая опять-таки о невозможности операции.

Кстати говоря, с делением ноля на ноль наблюдается ещё большее единодушие: тут, если мы соберёмся построить функцию, результаты могут быть практически какими угодно (0, ±1, ±∞…) В общем, ноль, оставаясь числом, снова подрывает основы математики, если мы нарушаем неприкосновенность его свойств.

Ноль — чётное число?

Это может быть интересно :

Если он так необычен (и не забываем, что он не является ни положительным, ни отрицательным), можно ли говорить о его чётности? Интуитивно мы догадываемся, что он чётный, ведь целые числа сменяют друг друга именно по такому принципу: 2 — чётное, 1 — нечётное, следующим должно быть снова чётное. Но странность ноля настораживает, подсказывает, что и в этом вопросе нужно держать ухо востро.

Парадоксальность как раз в том, что никаких особых свойств у ноля в этом вопросе нет. Он является чётным числом.

Какое главное требование он должен пройти в этом случае? Деление на двойку без остатка, и он выдерживает испытание с достоинством: 0/2=0. Получается целое число 0, причём сколько бы мы ни продолжали деление, результат будет получаться одинаковым — можно сказать, что он является «наиболее» чётным или «бесконечно» чётным числом.

Если быть более точным, мы должны взять другое определение с обратной операцией. Чётное число может быть представлено в виде 2x, где x — целое число, но и в таком случае всё просто: 0 = 2 ∙ 0.

Есть и такое свойство чётных чисел, что при сложении двух из них должно получаться снова чётное, проверим:

0 + 2 = 2; 0 + 4 = 4 и т. д.

При всей необычности ноля даже его удивительное соответствие всем критериям кажется странным, не так ли?

Кадр из фильма Даррена Аронофски о числе Пи.

Что смотреть и читать о ноле?

Чтобы узнать больше о ноле как одном из самых загадочных явлений математики, а также об истории его «открытия», вы можете обратиться к следующим ресурсам:

1. Numberphile. Это популярнейший в среде любителей математики Youtube-канал, у которого уже более чем 1,5 миллиона подписчиков. Есть видео и о ноле, которые в переводе на русский можно найти здесь.

2. Книга Чарльза Сейфе «Ноль. Биография опасной идеи». Автор, хоть и не без излишнего сгущения красок, рассказывает об истории ноля как числа и цифры — причем в обширном контексте истории науки, от Архимеда до теории струн. В качестве бонуса вы получите приложения с задачками, где используется ноль. Например, вам предложат доказать, что Уинстон Черчилль был морковкой, и построить машину времени из кротовой норы.

3. Сборник эссе, в которых фантаст Айзек Азимов рассказывает о том, как человек, переходя от счёта на пальцах ко всё более сложным вычислениям, разработал основные математические операции, а также о том, как числа связаны с нашим восприятием времени и пространства. Природе ноля и его парадоксам посвящена открывающая книгу статья “Nothing Counts”.

Даже если вам не нравились в школе ни арифметика, ни алгебра, у вас всегда есть возможность ими заинтересоваться. Учить математику с нуля уже не получится — худо-бедно мы начали считать ещё дошколятами. А вот полюбить её с нуля — вполне реальная перспектива.

13 сентября 2016, 20:00

Million, milliard, trillion va boshqalardagi nollarning soni

Bir millionda nollar nechta ekanligi haqida hech o’ylab ko’rganmisiz? Bir milliard? Bir trillion? Vigintilyonda nechta nol borligini bilasizmi? Bir kuni siz buni fan yoki matematik sinflar uchun bilishingiz kerak bo’lishi mumkin. Yana, shunchaki do’stingiz yoki o’qituvchingizni taassurot qilishni xohlashingiz mumkin.

Raqamlar trilliondan katta

Nol raqami juda muhim rol o’ynaydi, chunki siz juda katta raqamlarni hisoblaysiz. Bu 10 ga ko’payishni kuzatishga yordam beradi, chunki ularning soni qanchalik katta bo’lsa, ko’proq nollarga ehtiyoj bor. Quyidagi jadvalda birinchi ustun raqamning nomini, ikkinchisida dastlabki raqamdan keyingi nollarning sonini va uchinchi raqamda har bir raqamni yozib olish uchun uchta noldan nechta guruhni kiritish kerakligi ko’rsatilgan.

Ism	Nol soni	(3) nol guruhlari
O’n	1	(10)
Yuz	2	(100)
Ming	3	1 (1,000)
O’n ming	4	(10,000)
Yuz ming	5	(100,000)
Million	6	2 (1,000,000)
Milliard	9	3 (1,000,000,000)
Trillion	12	4 (1,000,000,000,000)
Kvadrillion	15	5
Quintillion	18	6
Sextillion	21	7
Septillion	24	8
Oktillion	27	9
Million emas	30	10
Milliard	33	11
Millionlab	36	12
Duodecillion	39	13
Tredecillion	42	14
Quatttuor-milliard	45	15
Quindecillion	48	16
Jinsiy milliard	51	17
Septen-milliard	54	18
Oktodecillion	57	19
Novemdecillion	60	20
Vigintillion	63	21
Centillion	303	101

Hammasi nol

Yuqoridagi kabi jadval, nollari qancha bo’lishiga qarab, barcha raqamlarning nomlarini sanab o’tishda yordam berishi mumkin. Ammo bu raqamlarning ba’zilari qanday ko’rinishini ko’rish juda aqlga sig’maydi. Quyida barcha nollarni o’z ichiga olgan ro’yxat – o’n milliardgacha bo’lgan raqamlar – yuqoridagi jadvalda keltirilgan sonlarning atigi yarmidan ozroq.

O’n: 10 (1 nol)
Yuz: 100 (2 nol)
Ming: 1000 (3 nol)
O’n ming 10000 (4 nol)
Yuz ming 100,000 (5 nol)
1 million 1 000 000 (6 nol)
Milliard 1 000 000 000 (9 nol)
Trillion 1 000 000 000 000 (12 nol)
Kvadrillion 1 000 000 000 000 000 (15 nol)
Kvintillion 1 000 000 000 000 000 000 (18 nol)
Sextillion 1 000 000 000 000 000 000 (21 nol)
Septillion 1,000,000,000,000,000,000,000,000 (24 nol)
Oktillion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (27 nol)
1 million bo’lmagan 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (30 nol)
Milliard milliard 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (33 nol)

“Zero” 3-to’plamda guruhlangan

Nollar to’plamiga havolalar uchta nollarni guruhlash uchun ajratilgan, ya’ni ular kichik raqamlar uchun tegishli emas. Qiymatni o’qish va tushunish oson bo’lishi uchun biz raqamlarni uchta noldan iborat vergul bilan ajratuvchi to’plam bilan yozamiz. Masalan, siz 1000000 emas, balki millionni 1 000 000 deb yozasiz.

Boshqa bir misol sifatida, 12 ta nolni sanashdan ko’ra, trillion to’rtta uchta nol bilan yozilganligini eslash osonroq. Siz buni juda oddiy deb o’ylashingiz mumkin bo’lsa-da, sakkiz million uchun 27 nol yoki 303 nolni hisoblash uchun kutib turing.

Aynan shundan keyin siz faqat nol va to’qqiz va 101 nollarni eslab qolishingizdan minnatdormiz.

Juda katta sonli nollarga ega bo’lgan raqamlar

Raqam googol (Milton Sirotta tomonidan atalgan) undan keyin 100 nolga teng. Bu erda googol barcha nollarni o’z ichiga olgan ko’rinishga ega:

Sizningcha, bu raqam katta emasmi? Qanday qilib googolplex, bu nollarning gogolidan keyin keladiganlar. Googolplex shunchalik kattaki, undan hech qanday ma’no yo’q – bu koinotdagi atomlar sonidan kattaroqdir.

Million va milliard: ba’zi farqlar

Amerika Qo’shma Shtatlarida va butun dunyoda ilm-fan va moliya sohasida bir milliard million millionni tashkil etadi, bu to’qqiz noldan keyin yozilgan. Bu, shuningdek, “qisqa o’lchov” deb nomlanadi.

Frantsiyada ishlatilgan va ilgari Buyuk Britaniyada ishlatilgan “milliardlab million” degan ma’noni anglatuvchi “uzoq masshtab” ham mavjud. Bir milliardning bu ta’rifiga ko’ra, raqam 12 bilan noldan keyin bitta bilan yoziladi. Qisqa va uzoq o’lchov 1975 yilda frantsuz matematiki Genevie Guitel tomonidan tasvirlangan.

1. Smit, Rojer. “Google Har bir narsani anglatadi.” Ilmiy-texnologik menejment, jild 53 yo’q. 1, 2010, 67-69 bet, doi: 10.1080 / 08956308.2010.11657613

0 raqami: bu nima va uni qanday ishlatish kerak

0 raqami uzoq vaqtdan beri matematik tushunchalarni o’rganayotgan odamlarni to’sib qo’ydi. Nol raqammi? Biz uni qanday ishlatamiz? Garchi hammamiz bilsakki, nol degani hech narsani anglatmaydi yoki yo’q, ammo bu har doim ham matematik muammolarga qo’shilishimizga yordam bermaydi. Quyida biz nolning bir nechta asosiy funktsiyalari va ushbu funktsiyalar yordamida nolni o’z ichiga olgan tenglamalarni qanday echish haqida to’xtalamiz.

0 raqami nima?

Nol raqammi? Nol, yoki 0, a raqam va 0 raqamini ko’rsatish uchun ishlatiladigan raqamli raqam matematikada keng qo llaniladi va o ziga xos son sifatida yoki tenglamalarda joylashtiruvchi sifatida ishlatilishi mumkin.

Tarix

0 raqami qadimgi Shumerlar jamiyatidan beri hech narsa g’oyasini ifodalash uchun mavjud bo’lib, ular raqamlar va tenglamalarni yozishda raqam yo’qligini anglatadi.

The biz oval shaklini bugun 0 deb bilamiz, arab tilida 700-yillarning oxirlarida paydo bo’lgan. 12-asr oxirigacha nol Evropa jamiyatida paydo bo’lishni boshlamadi.

Zamonaviy foydalanish

Nol odatda tilda yo’q degan tushunchani ifodalash uchun ishlatiladi va matematikada butun son sifatida ishlatiladi. Bugungi matematikada 0 raqami hiyla-nayrang bo’lishi mumkin; aslida u erda hech narsa bo’lmaganida nima uchun biron narsani hisoblash kerak? Ammo noldan turli xil matematik masalalarda foydalanish mumkin va buni ko’rganingizda nol bilan nima qilishni bilish muhimdir.

0 bilan operatsiyalar

Noldan foydalanadigan ushbu funktsiyalar ro’yxati matematikaning barcha funktsiyalarini o’z ichiga olmaydi, noldan foydalangan holda ushbu asosiy arifmetik ko’rsatmalar testlarda muammolarni hal qilishga yordam beradi va hatto haqiqiy dunyoda ham.

Qo’shish

Shaxsiyat to’g’risidagi qo’shimcha qonunida ta’kidlangan 0 ga qo’shilgan har qanday raqam o’ziga tengdir.

Shuning uchun siz istalgan raqamni qo’shishingiz va bir xil summani olishingiz mumkin. Shunday qilib, siz 1, 107 va 1.000.000 raqamlariga 0 qo’shishingiz va siz boshlagan raqamni olishingiz mumkin.

Chiqarish

Qo’shish singari, istalgan raqamdan 0ni aytsangiz, xuddi shu summani olasiz. Masalan, 12-0 = 12.

Agar siz olib tashlasangiz, muammoni hal qilish uchun qarz olishdan foydalanishingiz kerak bo’lishi mumkin. Qarz olish – bu bir nechta raqamli raqamlarni ayirish uchun ishlatiladigan usul.

Qarz olishning bir misoli (qanday formatlanishini bilib olamiz):

Ushbu muammoda siz 2 dan 5ni ayirolmaysiz, shuning uchun siz 7 dan qarz olishingiz kerak.

70 – 7 o’nlik. Shunday qilib, siz o’ntani olib ketishingiz mumkin, va 7 ga teng bo’ladi; keyin, 2 ga 12 ga aylanadi, endi 5 dan 12 ga chiqarishingiz kerak.

1-0 (bo’sh joy) 1 ga teng.

Shuning uchun javob 1447 ga teng.

Xo’sh, agar 0 hech narsa bo’lmasa, ayirboshlash muammosida undan qanday qarz olamiz? Kalit keyingi raqamdan chapga qarz olishdir. Kerakli darajada chap tomonga o’tishingiz mumkin.

Shunday qilib, agar siz 306-98 qilsangiz, avval 0 dan 10 ni olish uchun 3 dan qarz olasiz, keyin 6 dan 16 gacha qilish uchun 10 dan qarz olishingiz mumkin, shuning uchun sizning muammoingiz quyidagicha ko’rinadi: 16-8 = 8.

Shunday qilib, sizning javobingiz 208 ga teng.

Matematikadan bemalol shug’ullaning qo’shish mushukchalar sizning hayotingizga

Ko’paytirish

0 ga ko’paytirish aslida 0 ning eng oson funktsiyalaridan biridir. Agar 0 ga ko’paytirsangiz, javob har doim 0 ga teng.

Va nima deb o’ylaysiz? 123596395539 x ​​0 = 0

Bo’lim

0 raqami istalgan raqamga bo’linib, nolga teng. Buni shunday o’ylab ko’ring: bo’linish – bu narsalarni taqsimlash yoki teng ravishda ajratish? Agar sizda 8 ta keksdan iborat quti bo’lsa va sizning stolingizda 4 kishi bo’lsa, siz 8 dan 4 ga bo’linib, hamma ikkita keksni olishini bilib olasiz. Ammo sizning stolingizda 4 kishi va 0 ta keksli quti bo’lsa, sizda aslida bo’linadigan narsa yo’q. Har bir inson 0 keksni oladi.

Afsuski, raqamni nolga bo’lish juda mantiqiy emas. Nolga bo’linadigan har qanday son aniqlanmagan hisoblanadi; agar siz hozir uni kalkulyatoringizga qo’ysangiz, ehtimol siz xato haqida xabar olasiz.

Bo’limda, Siz har doim o’z fikringizni ko’paytirib, javobingizni ikki marta tekshirishingiz mumkin (bo’linish muammosiga javob) dividend bo’yicha. Bizning keki masalasida bu 2 x 4. Raqam bizning dastlabki bo’luvchimiz, 8 ga teng bo’lishi kerak.

Biroq, bu raqamni nima uchun 0 ga bo’lishimiz mumkin emasligini tushunishga yordam beradigan usul bo’lib xizmat qiladi, chunki biz 0 ga ko’paytiriladigan narsa 0 ga tengligini ko’paytirish qoidalarimizdan bilamiz, agar 0 dividend bo’lsa, yuqorida bayon qilingan tushunchaga amal qilinmaydi. , chunki javob har doim 0 ga teng bo’ladi, hatto bu asl bo’linuvchi bo’lmasa ham.

Agar biron sababga ko’ra muammoni dividend sifatida 0 ga duch kelsangiz, uni 1 ga teng ifoda etishingiz mumkin javob texnik jihatdan aniqlanmagan.

Ko’rsatkich

Bo’linishda bo’lgani kabi, eksponentda 0 aniqlanmagan hisoblanadi. Biroq, muammolarni echishda va boshqa raqamning kuchiga 0 ga teng bo’lgan raqamga yoki 0 ga teng bo’lgan narsaga duch kelganda, 0 ko’rsatkich ko’rsatkichini eslang

0 darajali qoida, nol yoki 0 ko’rsatkichi bo’lgan har qanday bazaning 1 ga teng ekanligini aytadi. Demak, x¹ = 1.

Shu bilan birga, har qanday quvvatning 0 qiymati 0 ga teng. Demak, 0² = 0.

Zero Factorial

Faktorial – bu matematik ifodadir, uni ifodalaydi! bu raqamlarni ko’paytirish orqali topilgan songa teng bo’ladi 1 va berilgan butun son orasidagi barcha raqamlar.

Shunday qilib, 2! biz barcha raqamlarni 1 dan 2 gacha ko’paytiramiz degan ma’noni anglatadi. Bu degani 2! = 2 × 1 = 2 va shuning uchun 2! = 24

6! demak, biz barcha raqamlarni 1 dan 6 gacha ko’paytiramiz. Shunday qilib 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 va shuning uchun 6! = 720

Ko’pincha nol faktorial 0 deb yozilgan! 1 ga teng deb belgilangan. Asosan, faktorial berilgan va 1 raqamlari orasidagi barcha butun sonlarning ko’paytmasining ifodasi bo’lgani uchun, bu 0 ga texnik jihatdan yagona to’g’ri javob! chunki 0 va 1 orasidagi yagona raqam 1 ga teng.

Nol raqamini ishlatish juda qiyin bo’lishi mumkin, ammo nolga to’g’ri kelganda matematikani to’g’ri bajarishga yordam beradigan bir nechta qoidalar mavjud. Ushbu qoidalarga qat’iy rioya qiling va nol sizning dushmaningiz emasligini yodda tuting. Agar siz nol raqami bilan qanday ishlashni bilsangiz, uni ishlatib, xuddi pirojniy kabi bo’lasiz.

Keyingisi nima?

Nol raqami sizni hayratga soladimi? Bir milliardda necha nol, googol va googolpleksda qancha nol borligini bilib oling.

Matematikadan ko’proq yordam kerakmi? O’nli kasrlarni kasrga aylantirish, kasrlarni qo’shish va kamaytirish, shuningdek, kompozitsion va ratsional sonlar haqida ma’lumot oling. Va bizning ko’paytirish jadvalimizni unutmang.

Do’stlaringiz bor, ular sinov tayyorgarligi bo’yicha yordamga muhtojmi? Ushbu maqolani baham ko’ring!